Erweiterung der Staaten

Question

Lassen $X$ ein lokal kompakter Hausdorff-Raum sein und $Y$ ist ein kompakter Unterraum von $X$. Lassen$\phi$ ein Staat sein auf $C(Y)$. Dann können wir uns erweitern auf$\phi$ zu $C_0(X)$? Angenommen, wenn$T:f \mapsto f|_X$ ist der Homomorphismus von $C_0(X)$ zu $C(Y)$, dann wird die Karte $\tilde{\phi}=\phi\circ T$ ein Staat sein auf $C_0(X)$?

Answer 1

Okay, ich denke das ist wahr. Gemäß meinem Kommentar müssen wir nur überprüfen, ob diese Funktion Norm 1 hat. Positivität ist wiederum gleichbedeutend mit$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$ für eine (oder eine beliebige) ungefähre Einheit $(e_\lambda)$ zum $C_0(X)$. Um dies zu lösen, suchen wir eine ungefähre Einheit$(e_\lambda)$ was befriedigt $\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

Genau wie im Wikipedia-Artikel für C * -Algebren (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras) gibt es eine ungefähre Einheit $(f_K)$, indiziert durch kompakte Teilmengen $K \subseteq X$ für welche $f_K|K = 1$(Tietze Erweiterung / Link in den Kommentaren). Mit dieser Idee ist es nicht schwer, ein Netz aufzubauen$(f_K)$, indiziert durch kompakte Teilmengen $K \subseteq X$ welche enthalten $Y$, so dass $f_K|_K = 1$. Dies ist unsere gewünschte ungefähre Einheit:$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$