Existenz eines Matrixzyklus durch eine gegebene Basis

Question

Lassen $(v_1, \ldots , v_n)$ eine Basis sein für $\mathbb{R}^n$. Eine Übung, die ich mir selbst gab, war es, das zu zeigen$n$ Seltsamerweise gibt es eine eindeutige Matrix $M$ Senden $v_1$ zu $v_2, \ldots, v_{n-1}$ zu $v_n$ und $v_n$ zu $v_1$. Im Wesentlichen$M$wirkt als Zyklus auf der Basis. Und für$n$ sogar, $M$ würde tauschen $v_1$ und $v_2$, $v_3$ und $v_4$, $\ldots,$ $v_{n-1}$ und $v_n$.

Konzentration auf den Fall, wo $n$ ist seltsam, alles was ich zeigen konnte war das wenn $M$ tatsächlich existiert, hätte es bestimmend $1$haben alle Eigenwerte $1$ mit algebraischer Multiplizität $n$und haben Eigenvektor $v_1 + \ldots + v_n$ mit geometrischer Vielfalt $1$. Aber ich habe Mühe zu zeigen, dass es existiert, oder sogar Beispiele zu konstruieren, abgesehen von der symmetrischen Matrix, die die Standardbasis durchläuft.

Existiert eine solche Matrix? Sind die obigen Teilergebnisse überhaupt korrekt? Ich würde mich über Hinweise für diese Übung freuen.

Answer 1

Im Allgemeinen haben Sie das wenn $B$ ist eine Basis für einen Vektorraum $V$ dann für jede Funktion $f:B\rightarrow V$ Es gibt genau eine lineare Karte $g:V\rightarrow V$ so dass $g(b)=f(b)$ für alle Elemente der Basis.

Sie können die Matrix für eine solche Transformation erhalten, indem Sie einfach die Bilder der Basis spaltenweise schreiben. In diesem Fall hat jede Spalte genau eine$1$.

Obwohl ich sagen kann, dass die Art der Matrix, von der Sie sprechen, als Permutationsmatrix bezeichnet wird, und Sie in der Tat richtig sind, dass in diesem Fall die Determinante ist $1$ wenn $n$ ist seltsam und $-1$ wenn $n$ ist gerade.