Existenz unabhängiger Ereignisse

Question

Lassen $(\Omega, \mathcal {F},\mathbb {P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum sein, so dass $\Omega$ ist zählbar, und $\mathcal {F}=2^{\Omega}$. Ich möchte zeigen, dass es unmöglich ist, eine zählbare Sammlung von Ereignissen zu existieren$A_{1},A_{2},\cdots\in \mathcal {F}$ die unabhängig sind, so dass $\mathbb {P}(A_{i})=\frac {1}{2}$ für jeden $i$. Ich denke zu zeigen$\mathbb {P}(\omega)\leq \frac {1}{2^n}$ zum $\omega\in\Omega$ und $n\in \mathbb {N}$ könnte helfen?

Answer 1

Es genügt zu zeigen, dass die Bedingungen dies implizieren $P(\{\omega\}) = 0$ für alle $\omega \in \Omega$und damit das $P(\Omega)=0$, im Widerspruch zu der Tatsache, dass $P$sollte ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein. Betrachten Sie also von nun an eine feste$\omega \in \Omega$. Sätze definieren$B_1,B_2,\dots$ auf die folgende Weise $$B_i := \begin{cases} A_i &, \text{ if $\ omega \ in A_i$} \\ \Omega \setminus A_i &, \text{ otherwise} \end{cases}.$$ Nun gegeben $A_1,A_2,\dots$ sind unabhängig mit $P(A_i)=\frac12$ es folgt dem $B_1,B_2,\dots$ sind unabhängig mit $P(B_i)= \frac12$. Jetzt wissen wir das durch Konstruktion$\omega \in \bigcap_{i=1}^\infty B_i$ und so bekommen wir das $$P(\{\omega \})\leq P(\bigcap_{i=1}^\infty B_i) =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0.$$

Answer 2

Hinweise :

Lassen $A_\infty$ sei die Menge von $\omega$ die in unendlich vielen enthalten sind $A_i$.

Zeigen Sie zunächst, dass jeder $\omega\in A_\infty$ befriedigt $\Bbb P(\{\omega\})=0$.

Verwenden Sie dann eine Version des Borel-Cantelli-Lemmas (eine, bei der Unabhängigkeit oder paarweise Unabhängigkeit eine wichtige Rolle spielt), um dies zu zeigen $\Bbb P(A)=1$ hält.

Schon seit $\Omega$ zählbar ist, führt dies zu einem Widerspruch.