Exponentielle Operatorerweiterung

Question

In meinen Vorlesungen diskutierte der Professor, dass dies für exponentielle lineare Operatoren der Fall ist $$ \exp(\lambda A + \lambda B) \neq \exp(\lambda A)\exp(\lambda B) $$ zum $AB\neq BA$.

Jetzt weiß ich, dass der Exponentialoperator eine ähnliche Definition hat wie die Exponentialfunktion. Es muss also auch die Idee einer Taylor-Reihe für Operatoren geben.

Nehmen wir das an $\lambda \ll 1$ so dass wir vernachlässigen können $O(\lambda^3)$ aber wir müssen uns an die zweite Ordnung in der reellen Zahl halten $\lambda$. Wenn der Exponent des Exponentialoperators nur aus einem kleinen Operator mit dem Formular besteht $$ \exp(A+\lambda B) $$ können wir dann in zweiter Ordnung in erweitern $\lambda$ so dass $$ \exp(A+\lambda B)\approx \exp(A) + \exp(A)\lambda B + \frac{1}{2}\exp(A) \lambda^2 B^2 + .....? $$ Ich glaube, dass dies nicht der Fall ist, weil wir es auch haben $$ \exp(A)\exp(\lambda B)\approx \exp(A) (I+\lambda B + \frac{1}{2} \lambda^2 B^2 + .....) $$ das ist das gleiche wie oben und das widerspricht $AB\neq BA$.

Man kann die Definition des Exponentialoperators auch direkt durch anwenden $$ \exp(A+\lambda B) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^n}{n!} $$ aber ich bin nicht sicher, wie ich die "$A$"Teil (vorausgesetzt, wir können vernachlässigen $O(\lambda^3)$) und auch, wie die Taylor-Erweiterung bei einem solchen Operator funktionieren würde, ohne auf diesen Widerspruch zu stoßen.

Danke im Voraus!

Answer 1

Die eigentliche Erweiterung ist $$\eqalign{\exp(A + \lambda B) &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^j}{j!}\cr &= \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j \frac{P_{j,k}(A,B)}{j!} \lambda^k}$$ wo $P_{j,k}$ ist die Summe der Produkte von $j$ Faktoren (in allen Reihenfolgen) davon $k$ sind $B$ und der andere $j-k$ sind $A$. Somit ist der Koeffizient von$\lambda^0$ bei der Erweiterung von $\exp(A+\lambda B)$ ist $\exp(A)$, aber der Koeffizient von $\lambda^1$ ist $$ \sum_{j=1}^\infty P_{j,1}(A,B)/j! = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} A^i B A^{j-i-1}/j!$$ Es ist sicherlich nicht so einfach wie $\exp(A) B$.

EDIT: Sie können schreiben $$ \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} \frac{A^i B A^{j-i-1}}{j!} = \sum_{i=0}^\infty A^i B f_i(A)$$ wo $$f_i(x) = \sum_{j=i+1}^\infty \frac{x^{j-i-1}}{j!} = \frac{\exp(x) (i! - \Gamma(i+1,x))}{x^{i+1} i!} $$ und $\Gamma(\cdot, \cdot)$ ist die unvollständige Gammafunktion.

EDIT: Für den Koeffizienten von $\lambda^2$möchten Sie alle Produkte mit zwei betrachten $B$'s. Damit $$ \sum_{j=2}^\infty \sum_{i=0}^{j-2} \sum_{k=0}^{j-2-i} \frac{A^i B A^k B A^{j-2-i-k}}{j!} $$

Answer 2

Die Standardmethode zum Erweitern $e^{A+\lambda B}$ ist die Dyson-Serie https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series.

Ich werde die Ableitung geben, die ich kenne, obwohl ich sicher bin, dass es eine gute Online-Referenz geben muss, die ich einfach nicht finden konnte:

Erwägen $e^{A+\lambda B}=e^{N((A+\lambda B)/N)}= \prod_{k=1}^N e^{(A+\lambda B)/N} $

So $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B}=\sum_k e^{(k-1)((A+\lambda B)/N)}{d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]e^{(N-k)((A+\lambda B)/N)}$$ Wir dürfen machen $N$ so groß wie wir wollen, und in der Grenze können wir die Ableitung auf erste Ordnung in erweitern $1\over N$ bekommen $${d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]\rightarrow {d\over d\lambda}[1+{(A+\lambda B)/N}]= B/N$$ alles zurückgeben und an die Kontinuumsgrenze gehen (Summe zu Integral): $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B} = \int_0^1 e^{\tau (A+\lambda B)}Be^{(1-\tau) (A+\lambda B)} d\tau $$ Also erstmal bestellen $\lambda$ ::

$e^{A+\lambda B}\sim e^A +\lambda \int_0^1 e^{\tau A}Be^{(1-\tau) A}d\tau+\cdots$

Höhere Aufträge sind unkompliziert, aber umständlich.