$f(xf(x)) = 2f(x)$

Question

Die Frage sagt

Finden Sie alle Funktionen, die erfüllen$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.

Wenn man den Grad der beiden Seiten der Gleichung vergleicht, kann man das leicht erkennen $f$kann kein Nicht-Null-Polynom oder eine Potenzfunktion sein. Die Funktion, die die bisher gefundene Funktionsgleichung erfüllt, ist trivial$f(x) =0$. Kann jemand einen Weg zeigen, um den Rest zu finden oder zu beweisen, dass der, den ich gefunden habe, nur einer ist? Danke im Voraus.

Answer 1

Lassen Sie uns nach allen kontinuierlichen Lösungen (eine sehr strenge Einschränkung!) Suchen$\Bbb R\to\Bbb R$ (Eine Domain, die viele Tools erlaubt!).

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Mit $x=0$, wir finden $f(0)=0$.

Wenn $f(x_0)=1$, dann $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$Widerspruch. Wir fassen zusammen$f(x)\ne1 $ für alle $x$.

Wenn $y=f(x)$ ist im Bild von $f$dann ist es auch so $2y=f(xf(x))$. Insbesondere wenn$f$ erreicht dann einen positiven Wert $f$ist von oben unbegrenzt. Aber dann impliziert der Zwischenwertsatz dies$1$ ist im Bild von $f$. Wir schließen daraus$f(x)\le 0$ für alle $x$.

Und wenn $f$ erreicht dann einen negativen Wert $f$ist von unten unbegrenzt. Dann$f(x_1)=-\frac12$ für einige $x_1$. Dann$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ Durch das IVT gibt es wieder $x_2$ zwischen $0$ und $-\frac12x_1$ mit $f(x_2)=-\frac12$. Durch Wiederholen dieses Vorgangs erhalten wir eine Sequenz$\{x_n\}$ so dass $f(x_n)=-\frac 12$ und $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$dh $x_n\to 0$. Wie$f(0)=0$Dies widerspricht der Kontinuität.

Wir schließen daraus, dass die einzige kontinuierliche Lösung $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ ist die triviale Lösung.