Faserdimension

Question

Lassen $f:X\rightarrow Y$ sei ein surjektiver Morphismus algebraischer Schemata (über ein algebraisch geschlossenes Feld $F$ von charakteristischer $0$). Ich denke in guten Fällen ($X$ und $Y$ irreduzibel) wir haben das jeder für jeden $y$ im $Y$ die Dimension der Faser $f^{-1}(y)$ ist mindestens $\dim X-\dim Y$. Was passiert, wenn wir die Irreduzibilitätsannahme fallen lassen? Sind die Gegenbeispiele zu dieser Untergrenze für die Dimension von$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Ja, wenn Sie nicht benötigen $Y$ irreduzibel zu sein, dann kann diese Grenze verletzt werden.

Das billigste Beispiel ist zu nehmen $f: X \rightarrow Y$ Surjektiv jeder relativen Dimension, die Sie mögen, größer als $0$, Lassen $X'$ und $Y'$ Sei die disjunkte Vereinigung eines jeden von ihnen mit einem Punkt und definiere $f'$ gleich $f$ auf $X$ und um den neuen Punkt auf abzubilden $X$ zum neuen Punkt auf $Y$.

Wenn Sie eine Verbindung benötigen, können Sie etwas Ähnliches tun, indem Sie jetzt beispielsweise eine Linie quer zu anhängen $X$ irgendwann $x$ und eine andere Zeile zu $Y$ beim $f(x)$und erweitern $f$ durch isomorphes Zuordnen der Linie zur Linie.

---

Mit etwas mehr Fummelei können wir auch ein Beispiel ausdenken, wo $Y$ ist wie folgt irreduzibel.

Lassen $Y=\mathbf A^1$, Lassen $Z \subset \mathbf A^2$ definiert werden durch $xy=1$, und lass $q:Z \rightarrow Y$Sei die Projektion auf den ersten Faktor. Diese Karte ist ein Isomorphismus auf die offene Menge$Y \setminus \{0\}$.

Nun lass $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Dann die Projektionskarte$W \rightarrow Y$ hat eindimensionale Fasern über jedem Punkt $y \neq 0$, während die Faser vorbei $0$ ist leer.

Zum Schluss lassen $L$ sei die Achse $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, und lass $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Dann die Projektion$X \rightarrow Y$ ist surjektiv, mit eindimensionalen Fasern über jedem $y \neq 0$und 0-dimensionale Faser über $0 \in Y$.