Finden der Basis eines Spaltenraums

Question

Mir wurde folgende Frage gestellt:

Annehmen, dass$A$ist zeilenäquivalent zu$B$. Finden Sie Basen für Null A und Col A.$$A=\left[\begin{matrix}-2&6&-2&-6\\2&-9&-6&2\\-3&12&5&-5\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}1&0&9&7\\0&3&8&4\\0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$$

Ich weiß, dass ich festlegen kann, um die Basis des Nullraums zu finden$A$gleich Null und verwenden Sie die Variablen aus den freien Spalten. Ich weiß auch, dass ich, um die Basis des Spaltenraums zu finden, einfach alle Zeilen mit führenden Zeilen verwenden kann. Meine Frage betrifft den Spaltenraum. Um dies in REF zu minimieren, setze ich A und B in eine erweiterte Matrix? Oder kann ich den Spaltenraum finden, ohne mein B überhaupt zu verwenden - indem ich ihn auf die gleiche Weise auf Null setze, wie ich es für meinen Nullraum mache?

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Im Moment habe ich eine erweiterte Matrix erstellt und die REF gefunden. Mein Spaltenbereich wurde:$$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}-4\\1\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\\frac{-1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$Ist das richtig?

Answer 1

Zeilenoperationen werden ausgeführt$A$ändert nicht, welche Spalten linear unabhängig sind.

In$B$, können Sie sehen, dass die ersten beiden Spalten unabhängig sind und alle anderen lineare Kombinationen davon sind; allgemeiner, in einem RREF, wenn Sie in jeder Zeile nach dem ersten Eintrag ungleich Null suchen und diese einkreisen (in diesem Fall ist das der Eintrag$(1,1)$und$(2,2)$), dann überspannen die SPALTEN, die eingekreiste Elemente enthalten, den Spaltenraum.

Was ist mit dem Nullraum? Für jede Spalte, die KEINEN eingekreisten Eintrag enthält (in diesem Fall Spalten 3 und 4), können Sie die entsprechenden Einträge mit Ausnahme einer einzigen Null machen$1$, also erstellen Sie Vektoren$$ \pmatrix{\star\\ \star \\ 0 \\ 1}, \pmatrix{\star\\ \star \\ 1 \\ 0} $$in deinem Beispiel; Dann fragen Sie: "Welche Werte muss ich eingeben, um die Sterne zu ersetzen, damit diese Vektoren zufriedenstellend sind$Ax = 0$? Es wird sich als einfach herausstellen, dies zu beantworten (aus der Zeilenstufenform), und das wird Ihnen eine Grundlage für den Nullraum geben.