Frage zur Notation von $\equiv$ und $\iff$

Question

Welchen Unterschied macht die Notation in diesen beiden Begriffen? $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\equiv𝑥∈𝑌) $$

Answer 1

Die Formel kann gelesen werden als

$X=Y \equiv_{Def}\forall(x) ( x\in X \leftarrow\rightarrow x\in Y)$

(In Worten: zu sagen, dass X = Y ist (per Definition) logisch äquivalent zu sagen, dass X und Y zufällig genau die gleichen Elemente haben).

mit

• $\equiv_{Def}$ bezeichnet logische Äquivalenz (genauer gesagt, Äquivalenz per Definition)

und

• $\leftarrow\rightarrow$ bezeichnet materielle Äquivalenz oder materielle Bimplikation, was ein wahrheitsgemäßer Funktionsoperator ist.

Die erste Beziehung ist eine metallogische Beziehung; Die zweite gehört zur Objektsprache.

Die Beziehung zwischen logischer Äquivalenz und materieller Äquivalenz ist wie folgt: Formeln $\phi$ und $\psi$ sind logisch gleichwertig, wenn das Material bedingt ist $ (\phi\leftarrow\rightarrow\psi)$ ist in allen logisch möglichen Fällen wahr.

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• Das iff in der Mitte ist eine logische Äquivalenz, genauer gesagt eine Äquivalenz per Definition. Äquivalenz per Definition funktioniert genauso wie gewöhnliche logische Äquivalenz (dh zwei Sätze sind äquivalent, nur für den Fall, dass es ihnen unmöglich ist, keine unterschiedlichen Wahrheitswerte zu haben, egal welcher mögliche Fall in Betracht gezogen wird).

Hinweis: Die Äquivalenz ist interessant, da die RHS durch die LHS ersetzt werden kann (und umgekehrt).

• Das iff auf der linken Seite ist keine logische Äquivalenz, sondern eine materielle Doppelimplikation. Zwei Sätze sind materiell äquivalent, nur für den Fall, dass es tatsächlich passiert, dass sie den gleichen Wahrheitswert haben, oder wenn Sie es vorziehen, nur für den Fall, dass es tatsächlich passiert, dass wir nicht das erste wahr und das zweite falsch haben, und wechselseitig).

• Betrachten Sie diese Anwendung des Extensionalitätsprinzips.

Sei H die Gruppe von Tieren, die ein Herz haben, und K die Gruppe von Tieren, die Nieren haben.

Die materielle Bedingung $\forall(x) ( x\in H \leftarrow\rightarrow x\in K)$ ist wahr.

Durch die Definition der Mengengleichheit ist die obige Formel logisch äquivalent zu der Aussage, dass die beiden Mengen gleich sind, das heißt, es ist eine logische Unmöglichkeit (sobald die Definition festgelegt ist), dass die materielle Bedingung währenddessen gilt $H=K$ nicht und umgekehrt.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass ein Herz logischerweise einem Nierenäquivalent entspricht. Faktisch passiert es einfach, dass die beiden Sets tatsächlich genau die gleichen Elemente haben, aber eine Welt, in der ein Tier ein Herz ohne Nieren hat (oder umgekehrt), ist logischerweise immer noch möglich.

Um es kurz zu machen: Die festgelegte Identität entspricht logischerweise der Co-Extensionalität. Aber an sich gilt die Koextensionalität auch dann, wenn sie nur sachlich oder zufällig ist. Daher das Material abhängig von der LHS.

Answer 2

Eine Art, es zu lesen, ist eine Sigle-Formel, was bedeutet: Zwei Sätze sind gleich, wenn "Bedingung".

In diesem Fall ist es eine Inkonsistenz, zwei verschiedene Symbole für dasselbe Konzept zu verwenden: das Zwei-Bedingte.

Eine andere Lesart ist, es als "Abkürzung" zu betrachten, was bedeutet: wir schreiben $X=Y$ genau dann, wenn "Bedingung" gilt.

In diesem Fall ist es nicht vorteilhaft, das "iff" ganz links mit einem Symbol zu übersetzen. Die Abkürzung ist keine Formel der Objektsprache, sondern eine Aussage in der Metasprache, und es ist nicht notwendig, sie zu "formalisieren".