Führen Sie eine Summierung mit einem Differentialoperator aus

Question

Unten ist ein Operator

$\hat{D}=\sum_{i,j}^2 \frac{\partial}{\partial u^i}\sqrt{g}g^{ij}\frac{\partial}{\partial u^j}$

wo $g_{ij}=\begin{pmatrix}p(x,y) & q(x,y)\\\ q(x,y) & r(x,y)\end{pmatrix}$ und $u^1,u^2$ sind jeweils $x$ und $y$.

Wie kann ich es in mathematica auf eine Funktion einwirken lassen? $F(x,y)$? Ich habe Probleme zu verstehen, wie man den Summationsteil macht. Die Funktionen$p,q,\& \, r$ werden aber alle angegeben $F$soll willkürlich bleiben. Was ich dann eigentlich bekommen möchte, ist eine Gleichung

$\hat{D}F(x,y)=0$

Dies ist leicht von Hand zu erarbeiten, wenn $i,j$ Laufen Sie nur von 1 bis 2, aber ich möchte lernen, ob es eine Möglichkeit gibt, es in Mathematica zum Laufen zu bringen, wenn ich 2 durch 3 oder mehr ersetze.

Answer 1

Alt

Meinst du so etwas? (Ich wusste nicht, was Sie mit der Wurzel der Matrix meinten$g$, also habe ich es weggelassen)

g[x_, y_] := {{p[x, y], q[x, y]}, {q[x, y], r[x, y]}};
op[u1_, u2_] = (
   D[g[u1, u2][[1, 1]]*D[#, {u1, 1}], {u1, 1}]
    + D[g[u1, u2][[1, 2]]*D[#, {u2, 1}], {u1, 1}]
    + D[g[u1, u2][[2, 1]]*D[#, {u1, 1}], {u2, 1}]
    + D[g[u1, u2][[2, 2]]*D[#, {u2, 1}], {u2, 1}]
   ) &

Anwendung auf Funktion

op[x, y][F[x, y]]

Update: Zusammenfassung

op2[u_] = Sum[
   D[(g @@ u)[[i1, i2]]*D[#, {u[[i2]], 1}], {u[[i1]], 1}]
   , {i1, Length@u}
   , {i2, Length@u}
   ] &

op2[{x, y}][F[x, y]] == op[x, y][F[x, y]]

Wahr