Funktionsableitung mit diskreter Variable

Question

Problem

$$\text{Find}\quad\frac{\delta F_k}{\delta G} \quad \text{given} \quad F_k=\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{-1}$$

bemerken, dass $k$ und $r$ sind dabei diskret $\omega$ und $t$ sind kontinuierlich.

Hintergrund

Ich versuche das zu zeigen $F_k[G(r,t)]$ ist sehr empfindlich gegenüber Störungen in $G(r,t)$. Durch numerische Arbeit weiß ich, dass dies (oft) der Fall ist. Letztendlich möchte ich dieses Konstruieren argumentieren$F_k$ durch Messen $G(r,t)$funktioniert nicht gut, wenn die Messung verrauscht ist. Ich fand einen guten Weg, dies zu zeigen, indem ich das funktionale Derivat berechnete und zeigte, dass es an einigen Stellen groß wird (oder vielleicht divergiert). Ich mache jedoch etwas falsch.

Versuch

Nach der Definition hier :

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)+\epsilon\eta(t)\right)^{-1}\right]_{\epsilon=0}$$

Verwenden der Kettenregel $\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}=N\delta_{k,0}$ dh das Kronecker-Delta und die Definition $G(k,\omega)\equiv\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)$ transformiert das Obige in

$$\frac{-\int dt\sum_{r=0}^{N-1} e^{i(kr+\omega t)}\eta(t)}{\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{2}}=\int dt\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}\eta(t)\to \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}$$

Ich weiß, dass dies falsch ist, weil diese Zahlen zeigen, dass dies nicht der Fall ist $0$ für alle $k\neq 0$. Ich vermute, das Problem hat etwas damit zu tun$\eta$ nur abhängig von $t$ und nicht $r$, aber ich bin nicht sicher, wie ich eine diskrete Variable wie erklären soll $r$.

Auflösung?

Ich denke, mein Verständnis der obigen Definition ist wahrscheinlich falsch und benötigt wahrscheinlich eine Testfunktion, die von beiden abhängt $r$ und $t$? Ich wäre ziemlich begeistert, wenn der richtige Weg so aussehen würde

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\sum_{r=0}^{N-1}\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(r,t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}F_k\left[G(r,t)+\epsilon\eta(r,t)\right]\right]_{\epsilon=0}$$

Aber meine Mathematik ist zu schwach, um zu behaupten, dass dies der richtige Weg ist, obwohl es (für mich) sinnvoll erscheint. Ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich damit umgehen soll$r$ist diskret. Wenn das oben Gesagte richtig ist, würde dies geben

$$ \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-e^{i(\omega t+kr)}}{G(k,\omega)^2} $$

Das wollte ich seitdem zeigen $G(k,\omega)=0$ für mindestens einen $\omega$ bei jedem $k$.

Ich suche

Eines der folgenden

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$
2. Wie geht man mit solchen funktionellen Derivaten um?
3. Was ist los mit meinem Versuch?
4. Bestätige / leugne die Richtigkeit meiner "Auflösung".

Danke im Voraus!

Answer 1

Ich werde Ihre Fragen nicht in ihrer früheren Reihenfolge beantworten, um sie möglicherweise besser beantworten zu können.

1. Wie geht man mit solchen funktionellen Derivaten um?

Der Ansatz, den Sie gewählt haben (allerdings mit einigen Ausrutschern, wie wir weiter unten sehen werden), ist der richtige, d. H. $$ \frac{\delta F_k }{\delta G}[G](\eta) \triangleq DF_k[G](\eta) \triangleq \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d \epsilon}} F_k(G+\epsilon \eta)\right|_{\epsilon=0}\label{1}\tag{1} $$ Die Berechnungen müssen durchgeführt werden, da die rechte Hand eine Funktion der realen Variablen war $\epsilon$: Die Definition hängt nicht davon ab, wie die Funktion $F_k$ handelt auf sein Argument $G(r,t)$ist somit unabhängig von der Diskretion und / oder der Kontinuität der beteiligten Variablen. Wir werden unten sehen, dass die Werte der Variablen diskret und endlich sind$r= 0, 1, \ldots, N-1$kann in diesem speziellen Fall effizient durch Darstellung des Arguments behandelt werden $G$ und die Variation $\eta$ als Vektoren in einem $N$-dimensionaler Raum, aber dies ist keineswegs durch die Struktur der Gleichung \ eqref {1} selbst impliziert.
Die Struktur funktionaler Derivate wird in diesen Fragen und Antworten ausführlich erläutert : Aus den dort angegebenen Gründen werden Sie feststellen, dass es nicht sicher ist, dem Wikipedia-Eintrag zu diesem Thema zu vertrauen.

1. Was ist los mit meinem Versuch?

Der Hauptfehler, der normalerweise gemacht wird (wie in diesem und in diesem anderen Fall ), ist zu erwarten, dass diese Art von Ableitung die Struktur einer Funktion hat: Es ist fast nie so. Üblicherweise sind funktionale Ableitungen Operatoren , die eine Variation abbilden$\eta$ des Arguments $G$der Funktion zur Variation des entsprechenden Wertes der Funktion selbst. Ausführlichere Beantwortung dieses Punktes der Frage Frage,

1. Sie erwägen Variationen der Single $t$ Variable: Dies ist kein absoluter Fehler, da Sie dies legal tun können, wenn Sie sicher sind, dass die Eingabe funktioniert $G=G(r,t)$ kann seinen Wert nicht "zufällig" ändern, wenn die diskrete Variable $r$wird konstant gehalten. Da Sie jedoch versuchen, die Leistung von zu analysieren$F_k$ Bei verrauschten Eingängen sollten Sie die Möglichkeit in Betracht ziehen $\eta=\eta(r,t)$ zum $r=0, 1,\ldots,{N-1}$, und
2. Sie erwarten, dass die funktionale Ableitung eine Funktion ist, während sie ein integraler Operator ist: Wenn Sie dies sehen, können Sie die Variation Ihrer Funktion bei verrauschten Eingaben bewerten.

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$

Formal durch Putten $$ \begin{split} &\mathbf{r} =(0, 1, \ldots, {N-1}),\\ & e^{ik\mathbf{r}} =\big(1, e^{ik}, \ldots, e^{ik{(N-1)}}\big), \\ & \eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big), \end{split} $$ wir können die funktionale Ableitung von schreiben $F_k$ wie $$ \begin{split} \frac{\delta F_k}{\delta G}[G](\eta) &= DF_k[G](\eta)\\ & =-\frac{{1}}{G(k,\omega)^2}\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr} \int \eta(r, t)\;e^{i\omega t} \mathrm{d}t\\ & = -\frac{{1}}{G(k,\omega)^2} \int \left\langle e^{ik\mathbf{r}}, \eta(\mathbf{r}, t)\right\rangle e^{i\omega t} \mathrm{d}t \end{split}\label{2}\tag{2} $$ wo $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle:\Bbb R^N\times\Bbb R^N \to\Bbb R$ist das gewöhnliche Skalarprodukt. Unter Verwendung der Gleichung \ eqref {2} und einer geeigneten Auswahl der Variation$\eta(r,t)$können Sie die Empfindlichkeit von analysieren $F_k$ zu bestimmten Variationen seiner Argumentfunktion $G$.

1. Bestätige / leugne die Richtigkeit meiner "Auflösung".

Ihre Auflösung ist "fast korrekt" in dem Sinne, dass Sie nach korrekter Durchführung der Ableitung eine geeignete Variante auswählen sollten $\eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big)$um Ihr Ergebnis zu erhalten. Und natürlich sollte Ihre Wahl mit dem Problem übereinstimmen, mit dem Sie sich befassen.