Funktionsgrenze entspricht der Begrenzung einer Sequenz?

Question

Wenn ich versuche zu berechnen $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\ln n)^2}{n}$In meinen Hausaufgaben zur mathematischen Analyse sollte ich möglicherweise den Stolz-Satz verwenden , um diese Grenze einer Sequenz zu berechnen . Ich finde es jedoch viel einfacher, diese Grenze zu berechnen, indem ich sie beispielsweise als Funktionsgrenze behandle$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}$unter Verwendung der L'Hospital-Regel . Und ich habe die richtige Antwort bekommen.

Ich mache mir jedoch immer noch Sorgen, ob ich ersetzen kann $n$ durch $x$ unter allen Umständen.

Hier sind meine Fragen

1. Kann mir jemand sagen, unter welchen Umständen ich ersetzen kann $n$ durch $x$ sicher bei der Berechnung des Limits?
2. Welche Beziehung besteht zwischen dem Satz von Stolz und der Regel von L'Hospital ? (Ersteres sieht aus wie eine diskrete Version des letzteren Theorems)

Answer 1

Wir haben das, wenn die Grenze mit $x\in \mathbb R$ existiert dann, da die Grenze dann für jede Teilsequenz gleich ist

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\ln x)^2}{x} =L \implies \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\ln n)^2}{n}=L$$

mit $L\in \bar {\mathbb R}$Andernfalls gilt die Implikation nicht wie für das erwähnte Beispiel mit $f(x)=\sin(\pi x)$ was aber nicht existiert $\sin(\pi n)\to 0$.

Für die andere Frage beziehen Sie sich auf die verwandte

• Stolz-Cesàro-Theorem
• Eine andere Art, L'Hopital zu beweisen

Answer 2

1. Über $\mathbb{R}$ (oder allgemeiner jeder messbare Raum, einschließlich euklidischer Räume usw.) $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ entspricht jeder sequentiellen Grenze $f(x_n) \to L$ für für eine Sequenz $\{x_n\} \to x_0$. Nehmen Sie in Ihrem Beispiel insbesondere die Reihenfolge$\{n\}_{n\in \mathbb{N}} \to \infty$. Nur weil eine untergeordnete Grenze existiert (z$\sin n\pi\to 0$ wie von @Gerry Myerson angegeben) bedeutet nicht die Grenze (z $\sin nx$) existiert. Wenn das Limit (als Funktionen) nicht vorhanden ist, können Sie diese Ersetzung offensichtlich nicht vornehmen. Wenn jedoch das Limit (als Funktionen) vorhanden ist, können Sie dies tun.
2. Betrachten Sie den Vorwärtsdifferenzoperator $\Delta_h$ für Sequenzen $\{a_n\}$vorläufig benutze ich die Notation, um zu bedeuten $\Delta_h (a_n) = a_{n+h}-a_n$, dann sieht eine "diskrete Ableitung" wie folgt aus $\frac{\Delta_h (a_n)}{h}$Stolz - Cesàro ist dann intuitiv das diskrete Analogon zu L'Hôpitals Regel für $\Delta_1:=\Delta$, wie wir veranschaulichen können:

Für Funktionen: $$ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ Für Sequenzen: $$\lim_{n\to\infty}\frac{ a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=l$$ unter der Annahme, dass die Voraussetzungen für jeden Satz gelten