G-Delta-Mengen und Dichte

Question

Lassen $(X,d)$ein metrischer Raum sein und ist vollständig. Wie$G_\delta$Mengen sind der zählbare Schnittpunkt offener Mengen. Also wenn$G_\delta$ ist ein dichtes Set in $X$ dann bedeutet dies, dass die offenen Mengen, deren Schnittpunkt war $G_\delta$ ist auch dicht.

Answer 1

Wie einige Benutzer und ich in den Kommentaren betonten, muss jeder Satz, der einen dichten Satz enthält, dicht sein. Mal sehen warum:

Vorstellen $D$ ist dicht und $D\subseteq A$. Nimm ein offenes Set$U$. Schon seit$D$ ist dicht, $D\cap U\neq\emptyset$Es gibt also einige $x\in D\cap U$. Dann$x\in D$ und $x\in U$. Schon seit$D\subseteq A$, $x\in A$ auch so $x\in A\cap U$. All dies sagt nur das Gegebene aus$D\subseteq A$ wir haben $\emptyset\neq D\cap U\subseteq A\cap U$. Schon seit$U$ war eine unspezifische offene Menge, dies funktioniert für jede offene Menge, also schließen wir daraus $A$ ist auch dicht.

Wie für Ihre Frage, wie gesagt, wenn eine dichte Menge $D$ ist ein $G_\delta$, dann ist es ein zählbarer Schnittpunkt offener Mengen: $D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n$. Schon seit$D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\subseteq U_n$ für jeden $n$Wir haben das jeweils $U_n$ ist dicht.