Geburtstagsproblem: Lösen mit Permutationen gegen Kombinationen

Question

Ich habe ein Problem mit einer Übung:

Wenn k Personen auf einer Party sind, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen denselben Geburtstag haben? Angenommen, ein Jahr hat n = 365 Tage und alle Tage sind gleich wahrscheinlich der Geburtstag einer bestimmten Person. Was ist die Wahrscheinlichkeit für k = 23?

Und laut Lösungsblatt lautet die richtige Antwort:

$Pr=1-\frac{P_{365,k}}{365^k}$ und $Pr_{k=23} \approx 0.5073$

Ich glaube, ich verstehe die Denkweise hinter dieser Lösung, aber meine Denkweise war ganz anders:
Nehmen wir das an$\#B$ist die Anzahl der Paare, die denselben Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar NICHT denselben Geburtstag hat, beträgt$p_b=1-\frac{1}{365}=\frac{364}{365}$ Also für alle Paare, die wir haben:
$P(\#B \ge 1)=1-P(\#B =0)=1-(\frac{364}{365})^{C_{k,2}}$ wo $C_{k,2}$ist die Anzahl der möglichen Paare. Dies scheint ganz anders zu sein als die Lösung aus dem Lösungsblatt und das genaue Ergebnis für$k=23$ scheint auch ein bisschen anders zu sein, weil ich (laut Wolfram alpha) bekomme:
$Pr_{k=23} \approx 0.5004771$
Was mache ich falsch? Oder vielleicht sind die beiden Lösungen gleichwertig und der Unterschied in den Ergebnissen für$k=23$wird durch einige numerische Näherungen verursacht?
Vielen Dank im Voraus für deine Hilfe.

Answer 1

Sie haben Recht, dass es gibt $\binom k2$ (oder wenn Sie es vorziehen $C_{k,2}$) mögliche Paare, und jedes Paar hat eine $\frac{364}{365}$ Wahrscheinlichkeit, NICHT denselben Geburtstag zu haben.

Diese Ereignisse sind jedoch nicht unabhängig und daher können wir ihre Wahrscheinlichkeiten nicht einfach multiplizieren!

Ein Beispiel dafür, wie sie nicht unabhängig sind: Angenommen, Sie erhalten, dass A und B denselben Geburtstag haben und dass B und C denselben Geburtstag haben. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und C denselben Geburtstag haben, viel höher als$\frac{1}{365}$...

Viele dieser Ereignisse sind nahezu unabhängig (zum Beispiel sind zwei davon unabhängig). Wenn Sie also ihre Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, sind Sie der richtigen Antwort ziemlich nahe. Aber es ist immer noch falsch.