Generatoren von $S_4$

Question

Die Gruppe $S_4$ wird generiert von $\{(12), (1234)\}$Jetzt möchte ich wissen, wie ich durch einen Ordnungszyklus generieren werde $4$ und jeder Ordnungszyklus $3$ und bestellen $2$.

Meine Hauptfrage ist, die Anzahl der Homomorphismen zu finden und wenn $\varphi(1234) \to -1$ und $\varphi (12) \to -1$.

Wie werde ich dann von hier aus schließen, dass eine ungerade Permutation zu gehen wird $-1$ und jeder wird sogar gehen $1$. (Es muss durch grobe Berechnungen und nicht durch Verwendung von Homomorphismus-Theoremen gezeigt werden).

Ich brauche wirklich Hilfe.

Answer 1

Jede ungerade Permutation $π$ muss als Wort in ausgedrückt werden können $(12)$ und $(1234)$ von ungerader Länge $n$, da beide ungerade sind. So$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, schon seit $\varphi$ ist ein Homomorphismus.

Answer 2

Verwendung einer Darstellungstheorie (siehe https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Ich habe gearbeitet und ein Python-Programm zur Zeichenfolgenverarbeitung entwickelt, um Permutationen zu multiplizieren. Schritt für Schritt vergrößerte ich unsere Arbeitsgruppe. Es gibt nur eine Standarddarstellung.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Von hier aus können Sie die restlichen abziehen $5$ Transpositionen und erklären Sie warum für jede Transposition $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$