Generierte Sigma-Algebren
Ich bin kein Mathematiker, sondern greife unterwegs Themen auf, wenn ich etwas für das Thema brauche, das ich in der gegebenen Zeit studiere. Es tut mir leid, wenn dies für die meisten von Ihnen trivial ist, und ich entschuldige mich für etwaige konzeptionelle Fehler, die ich in der Beschreibung machen könnte. Ich werde versuchen, so präzise wie möglich zu sein.
Im Moment studiere ich Wahrscheinlichkeitstheorie aus diesem Kurs: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [um Stochastic Calculus for Finance zu verstehen (Vol. II - S. Shreve)], und ich stieß auf Sigma-Algebren.
Während ich das Konzept verstehe; Wenn wir eine Menge haben, die eine Sammlung von Teilmengen von Omega ist (dh wenn wir eine Sammlung von Ereignissen haben), die mit F bezeichnet sind, dann ist F eine Sigma-Algebra, wenn sie die folgenden drei Bedingungen erfüllt.
- Omega gehört in F,
- F wird unter Ergänzungen geschlossen,
- F ist unter zählbaren Gewerkschaften geschlossen
So weit so gut und ich verstehe auch die Eigenschaften, die sich aus der Definition ergeben, sowie wie sie abgeleitet werden. Außerdem weiß ich, dass wir die triviale Sigma-Algebra haben, die kleinste Sigma-Algebra auf Omega und die diskrete Sigma-Algebra, die die Potenzmenge von Omega ist und die größte Sigma-Algebra auf Omega ist.
Mein Problem sind generierte Sigma-Algebren. Ich verstehe die Definition; Sei A eine willkürliche Sammlung von Teilmengen von Omega, dann ist Sigma (A) die erzeugte Sigma-Algebra, die aus A erzeugt wird, und ist die kleinste Sigma-Algebra, die A enthält. Ferner können wir die kleinste Sigma-Algebra finden, indem wir alle Sigma-Algebren schneiden, die A enthalten , da der Schnittpunkt von Sigma-Algebren auch eine Sigma-Algebra ist.
Der letzte Teil ist der, den ich nicht verstehe und der mich verwirrt. Ich verstehe, dass wir die Potenzmenge von Omega haben, die definitiv die Sammlung A enthält. Aber was genau meinen wir damit, dass wir alle Sigma-Algebren, die A enthalten, schneiden, um die kleinste zu finden, die A enthält? Bedeutet das, dass wenn wir eine Sigma-Algebra haben, die die Sammlung A und eine andere Sammlung von Teilmengen enthält, B (die eine Sigma-Algebra ist, die A enthält, aber ich verstehe, dass sie nicht die kleinste ist) und sie mit der Potenzmenge von Omega schneidet? Wir erzeugen Sigma (A), das in der Tat das kleinste und raffinierteste ist, um die Fragen zu beantworten, die wir für unser Problem benötigen. Aber woher genau kommt die größere Sigma-Algebra (in den Sammlungen A und B)?
Wenn jemand eine intuitivere Erklärung liefern oder noch besser ein Beispiel geben könnte (endlich, wie ein Würfelwurf), wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank für Ihre Zeit beim Lesen! :) :)
Antworten
Es geht nicht darum, eine zu nehmen $\sigma$-Algebra $B$ enthält $A$ und schneide es mit dem Powerset von $\Omega$. (Beachten Sie, dass wenn$B$ist eine Sammlung von Teilmengen von$\Omega$, und $P(\Omega)$ ist das Powerset von $\Omega$, dann $B\cap P(\Omega)=B$. So überschneidet sich mit dem Powerset von$\Omega$ macht nicht viel.) Der Punkt ist, wenn wir zwei haben $\sigma$-Algebren $B_1$ und $B_2$ Dies enthält $A$, dann $B_1\cap B_2$ ist auch ein $\sigma$-algebra enthält $A$(Übung). Außerdem,$B_1\cap B_2$ wird kleiner sein als $B_1$ und $B_2$ (es sei denn, einer von $B_1$ oder $B_2$ enthält die andere).
Damit $\sigma(A)$bringt diese Idee auf das Äußerste: Wir überschneiden alle $\sigma$-Algebren mit $A$. In Symbolen lassen$\mathscr{B}$ sei die Menge von $\sigma$-Algebren auf $\Omega$ Dies enthält $A$. Dann$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Dann$\sigma(A)$ ist ein $\sigma$-algebra enthält $A$ (Übung) und wenn $B$ ist ein $\sigma$-algebra enthält $A$ dann $\sigma(A)\subseteq B$per Definition. Es macht also Sinn anzurufen$\sigma(A)$ das kleinste $\sigma$-algebra enthält $A$, oder der $\sigma$-Algebra erzeugt von $A$.
Jetzt fragst du, wo diese größer sind $\sigma$-Algebren kommen von, und das hängt sehr stark vom jeweiligen Beispiel ab. Im Allgemeinen ist die Sammlung$\mathscr{B}$oben könnte ziemlich kompliziert sein. Das Beste, was wir im Allgemeinen sagen können, ist, dass es immer mindestens eines gibt$\sigma$-Algebra in $\mathscr{B}$, nämlich das Powerset von $\Omega$.
Die Konstruktion von $\sigma(A)$ Das oben beschriebene ist gut für eine Definition, aber ziemlich schwierig in die Praxis umzusetzen, da die Berechnung schwierig oder zumindest sehr zeitaufwändig sein kann $\mathscr{B}$. Gegeben eine bestimmte$A$, wenn man eine explizitere Beschreibung von bekommen möchte $\sigma(A)$dann in der Regel dies beinhaltet Familien von Sätzen , die Berechnung muss in jedem sein$\sigma$-algebra enthält $A$ bis Sie mit einer Familie kommen, die selbst ein ist $\sigma$-Algebra. In der Tat, wenn Sie eine Sammlung erstellen können$B$ die ein $\sigma$-algebra enthält $A$ und muss in jedem enthalten sein $\sigma$-Algebra, die enthält $A$dann folgt daraus $\sigma(A)=B$.
Wann $\Omega$ Endlich ist die Brute-Force-Idee etwas vernünftiger, weil Sie einfach mit dem Schließen beginnen können $A$ unter Schnittpunkten und Ergänzungen, bis Sie eine Algebra erhalten.
Betrachten Sie zum Beispiel die reale Linie und die Sammlung aller Einpunktmengen $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Eine Sigma-Algebra, die diese Mengen enthält, ist die Potenzmenge. Eine andere ist die Familie aller zählbaren Mengen und ihrer Ergänzungen. Es gibt auch viele andere. Nehmen Sie nun die Mengen, die allen solchen Sigma-Algebren gemeinsam sind. Das gibt die Sigma-Algebra, die von unserer Familie erzeugt wird. In diesem Fall stellt sich heraus, dass dies genau zählbare Mengen und deren Ergänzungen sind. Grund: Jede Sigma-Algebra, die Singletons enthält, muss alle zählbaren Mengen enthalten (da es sich um zählbare Vereinigungen von Singletons handelt). Es muss auch ihre Ergänzungen enthalten. Daher ist die kleinste Sigma-Algebra, die alle Singeltons enthält, genau die Familie aller zählbaren Mengen und ihrer Komplemente.