Gibt es eine clevere Lösung für Arnolds "Händlerproblem"?
Es gibt ein Problem, das in einem Interview mit Vladimir Arnol'd auftaucht . Das Problem wird auch hier zitiert .
Sie nehmen einen Löffel Wein aus einem Fass Wein und geben ihn in Ihre Tasse Tee. Dann geben Sie einen Löffel der (ungleichmäßigen!) Teemischung aus Ihrer Tasse in das Fass zurück. Jetzt haben Sie eine Fremdsubstanz (Wein) in der Tasse und eine Fremdsubstanz (Tee) im Fass. Was ist größer: die Menge Wein in der Tasse oder die Menge Tee im Fass am Ende Ihrer Manipulationen?
Hier ist meine Lösung:
Der Schlüssel besteht darin, die Anteile von Wein und Tee im zweiten Löffel zu berücksichtigen (dh den Löffel der ungleichmäßigen Mischung, die von der Tasse zum Fass transportiert wird). Lassen$s$ sei das Volumen eines Löffels und $c$sei das Volumen einer Tasse. Die Menge Wein in diesem zweiten Löffel ist$\frac{s}{s+c}\cdot s$ und die Menge an Tee in diesem Löffel ist $\frac{c}{s+c}\cdot s$. Dann ist die Menge Wein in der Tasse übrig$$s-\frac{s^2}{s+c}=\frac{sc}{s+c}$$ und die Menge an Tee im Fass ist jetzt auch $\frac{cs}{s+c}.$ Die Mengen, die wir vergleichen sollen, sind also gleich.
Arnol'd sagt aber auch
Kinder im Alter von fünf bis sechs Jahren mögen sie sehr und können sie lösen, aber sie können für Hochschulabsolventen, die durch formale mathematische Ausbildung verwöhnt werden, zu schwierig sein.
Angesichts der einfachen Art der Lösung werde ich vermuten, dass es einen Trick gibt. Wie würde ein Sechsjähriger dieses Problem lösen? Meine Universitätsausbildung stört mein Denken.
Antworten
Das Volumen des Löffels, $s$ist die konservierte Menge. Es ist auch die Menge an Wein in der Tasse.
Wenn Sie dann etwas Mischung nehmen$\mathit{tea}+\mathit{wine} = s$ in den Löffel,
$s-\mathit{wine}$ist die Menge an Wein, die in der Tasse verbleibt, und die Menge an Tee, die in das Weinfass gegossen wird.
Am Ende ist die Teetasse so voll wie am Anfang. Dies bedeutet, dass der hinzugefügte Wein durch den verschwundenen Tee genau aufgewogen wird.
In erster Näherung befindet sich ein Löffel Wein in der Tasse und ein Löffel Tee im Fass. Um wie viel ist jede dieser Annäherungen um? Nun, es ist etwas weniger als ein Löffel Wein in der Tasse, da im zweiten Schritt etwas Wein entfernt wurde. Und es gibt etwas weniger als einen Löffel Tee im Fass, da ein wenig Wein in den Löffel gemischt wurde, der hineingegeben wurde. Aber diese Fehler sind genau die gleichen: Beide sind die Menge Wein, die im zweiten Löffel war. Die beiden Mengen sind also gleich: Beide sind ein Löffel abzüglich der Weinmenge, die sich im zweiten Löffel befand.
Oder hier ist ein noch schlauerer Weg. Beachten Sie, dass sich das Gesamtvolumen der Flüssigkeit in Tasse und Fass nicht geändert hat, da sich die beiden ausgetauschten Löffel aufgehoben haben. Die allgemeine Änderung muss also sein, dass das Fass ein gewisses Volumen Wein gegen das gleiche Volumen Tee aus der Tasse austauschte.
Beachten Sie, dass Ihre Lösung tatsächlich falsch ist - wenn Sie die Mengen an Wein und Tee im zweiten Löffel berechnen, gehen Sie davon aus, dass die Tasse nach dem ersten Löffel gleichmäßig gemischt wurde, was das Problem besagt, dass Sie nicht davon ausgehen sollen (das ist, was das "( ungleichmäßig!) "dreht sich alles um).
Nach Schritt 1 befindet sich immer ein Löffel Wein in Ihrer Tasse.
Wenn in Schritt zwei:
Sie geben einen Löffel Wein zurück in Ihr Fass, dann gibt es 0 Tee in Ihrem Wein und 0 Wein in Ihrem Fass.
Sie geben einen Löffel Tee zurück in Ihr Fass, dann gibt es 1 Tee in Ihrem Wein und 1 Tee in Ihrem Fass.
Sie geben einen halben Löffel Tee und die Hälfte Wein zurück in Ihr Fass, dann sind 0,5 Tee in Ihrem Wein und 0,5 Wein in Ihrem Tee.
Es scheint, dass die Menge (nicht das Verhältnis) von Tee in Ihrem Wein und Wein in Ihrem Tee unabhängig davon gleich bleibt.
Argument durch Symmetrie
Eine Möglichkeit, sich dem Problem zu nähern, besteht darin, die Bedeutung der Tatsache zu erkennen, dass eine Lösung unter der Annahme erwartet wird, dass die Tee-Wein-Mischung in der Teetasse ungleichmäßig ist . Mit anderen Worten, es ist unmöglich zu wissen, ob Sie einen Löffel Tee zurück in das Fass oder einen Löffel Wein oder eine Mischung aus beiden geben. Dies impliziert, dass die relativen Größen der Teetasse und des Weinfasses sowie der Anteil des Weins, den Sie aus der Teetasse schöpfen, völlig irrelevant sind .
Mit diesem Wissen können wir sehen, dass wir die gleiche Antwort erhalten sollten, ob wir einen Löffel Wein in die Teetasse schaufeln und dann zurückgehen oder ob wir einen Löffel Tee in das Weinfass schaufeln und dann zurückgehen. Ohne etwas über die relativen Größen der Behälter zu wissen (oder wissen zu müssen), können wir einfach das Fass mit Tee und die Tasse mit Wein füllen, um das "umgekehrte" Experiment durchzuführen. Die Übertragung des Weins in den Tee ist nicht anders, wenn wir ein Weinfass in Teetassengröße und eine Teetasse in Fassgröße haben - schließlich gibt es keine Hinweise darauf, dass dies nicht die beschriebene Situation ist!
Aus Symmetriegründen ist die einzig logische Schlussfolgerung, dass sich genau so viel Tee im Weinfass befindet wie Wein in der Teetasse, unabhängig davon, ob die Teetasse oder das Fass zu Beginn mit Tee oder Wein gefüllt ist. Andernfalls würden wir bei beiden Experimenten zu widersprüchlichen Ergebnissen kommen - wir können nicht mehr Tee im Weinfass finden, wenn wir in die eine Richtung gehen, und mehr Wein in der Teetasse, wenn wir in die andere Richtung gehen, was besonders offensichtlich ist, wenn wir nur die Gefäße wechseln dass die Flüssigkeiten von Anfang an drin sind.
- Zuerst haben wir eine $B_{wine}$ und ein $C_{tea}$ und ein $S$Poon
- Jetzt haben wir $B_{wine}-S_{wine}$ und $C_{tea}+S_{wine}$
- Dann haben wir $B_{wine}-S_{wine}+(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$ und $ C_{tea}+S_{wine}-(\frac{k}{100}S_{wine}+\frac{100-k}{100}S_{tea})$
Was zeigt, dass wir in einer Tasse Tee haben $\frac{100-k}{100}S_{wine}$ und im Weinfass haben wir $\frac{100-k}{100}S_{tea}$. Na sicher$S_{tea}=S_{wine}$. (Beide sind ein Löffel)!
Stellen Sie sich den Tee im Wein in Form einer winzigen Kugel im Wein vor. Dann muss dieser Ball genau die Menge Wein sein, die im Wein fehlt. Ergo ist es die Menge an Wein, die im Tee enthalten ist. Die beiden Mengen sind also gleich, mit genau so viel Tee im Wein wie Wein im Tee.
Huh. Ich muss 5 oder 6 Jahre alt sein, da ich dachte, das wäre völlig trivial. Mir ist jedoch aufgefallen, dass ich dazu neige, viel häufiger visuell als algebraisch zu argumentieren.
Vor:
Nach:
Ich meine, es muss sein! Egal, ob es sich um einen Löffel oder eine Prise handelt oder ob Sie Dinge drei- oder viermal hin und her bewegt haben oder was Sie haben ... am Ende muss jede Menge Wein, die durch Tee ersetzt wird, in der Tasse gelandet sein .
So wie ich es intuitiv als Venn-Diagramm sehe. Zwei Kugeln stellen die beliebige Menge dar, die bewegt wird, I. In diesem Fall eine Teelöffelmenge. Wenn sie sich also überlappen, fragen Sie, welcher Bereich der größte der beiden Kugeln ist, die sich nicht überlappen. Aber Sie sehen, dass jeder Bereich, der von einem genommen wird, vom anderen genommen werden muss und der Bereich der gleiche ist.