Gittertheoretisches Komplement der euklidischen Topologie
Es ist bekannt, dass die Klasse der Topologien $Top(X)$ eines gegebenen Satzes $X$ist ein begrenztes vollständiges Gitter (das kleinste Element ist die indiskrete Topologie und das größte Element ist die diskrete Topologie, während das Zusammentreffen einer Familie von Topologien der Schnittpunkt einer solchen Familie ist). Im Falle$X=\mathbb R$Was kann man über gittertheoretische Komplemente der euklidischen Topologie sagen? Existieren sie überhaupt? Kann einer von ihnen gebaut werden?
Antworten
Hier ist eine Möglichkeit, eine solche Ergänzung zu erhalten. Partition$\mathbb{R}$ in zählbare dichte (in Bezug auf die euklidische Topologie) Teilmengen $(A_i)$ (zum Beispiel die $A_i$ könnte die cosets von sein $\mathbb{Q}$). Zählen Sie jeweils auf$A_i$ wie $\{a^i_n:n\in\mathbb{N}\}$. Lassen$T$ sei die Sammlung aller Sets $U\subseteq\mathbb{R}$ mit der Eigenschaft, dass wenn $a^i_n\in U$, dann $a^i_m\in U$ für alle $m\leq n$. Das ist leicht zu sehen$T$ ist eine Topologie.
Annehmen $U\in T$ und $U$ ist nicht alles von $\mathbb{R}$. Lassen$x\in\mathbb{R}\setminus U$;; dann$x=a^i_n$ für einige $i$ und $n$. Schon seit$U\in T$, das heisst $a^i_m\not\in U$ für alle $m\geq n$. Schon seit$A_i$ ist dicht in $\mathbb{R}$ in Bezug auf die euklidische Topologie ist dies auch der Fall $\{a^i_m:m\geq n\}$. Damit$U$hat ein leeres Inneres in Bezug auf die euklidische Topologie und kann insbesondere in der euklidischen Topologie nicht geöffnet werden, es sei denn, es ist leer. Dies zeigt, dass der Schnittpunkt von$T$ und die euklidische Topologie ist die indiskrete Topologie.
Beachten Sie jedoch, dass für jeden $x\in \mathbb{R}$gibt es $U\in T$ so dass $x\in U$ und $U$ist endlich. Nämlich wenn$x=a^i_n$, Lassen $U=\{a^i_m:m\leq n\}$. Es existiert dann ein offenes Intervall$V$ so dass $U\cap V=\{x\}$. Damit,$\{x\}$ ist offen im Join von $T$und die euklidische Topologie. Schon seit$x\in\mathbb{R}$ war willkürlich, dies zeigt, dass der Join die diskrete Topologie ist.
Da kann man das variieren $(A_i)$ und ihre Aufzählungen, um unterschiedliche Topologien zu erhalten, gibt diese Konstruktion tatsächlich viele $2^{2^{\aleph_0}}$verschiedene Ergänzungen zur euklidischen Topologie. In der Tat können Sie durch eine zusätzliche Variation dieser Konstruktion erhalten$2^{2^{2^{\aleph_0}}}$ verschiedene Ergänzungen zur euklidischen Topologie.
Lassen $(A_i)_{i\in I}$ Sei wie oben und wähle ihre Aufzählungen $A_i=\{a^i_n:n\in\mathbb{N}\}$ so dass das Set $B=\{a^i_0:i\in I\}$ hat Schnittpunkt der Größe $2^{\aleph_0}$ mit jedem Intervall und $0\in B$. Lassen$F$ sei irgendein Ultrafilter an $C$welches den Cobounded Filter enthält. Lassen$T_F$ sei die Menge der Elemente $U\in T$ (wie oben definiert) mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass wenn $0\in U$, dann $U\cap B\in F$. Dann$T_F$ ist eine Topologie und $F$ kann aus wiederhergestellt werden $T_F$ als die Menge von Teilmengen $S\subseteq B$ so dass $\{0\}\cup S\in T_F$ (Dies funktioniert seit jeder Teilmenge von $B$ ist in $T$). Weil dort sind$2^{2^{2^{\aleph_0}}}$ verschiedene Möglichkeiten von $F$, das gibt $2^{2^{2^{\aleph_0}}}$ verschiedene Topologien $T_F$Ich behaupte, dass dies alles Ergänzungen zur euklidischen Topologie sind.
Schon seit $T_F\subset T$ist es klar, dass der Schnittpunkt von $T_F$und die euklidische Topologie ist die indiskrete Topologie. Wenn$x$ ist nicht in der $A_i$ das beinhaltet $0$, dann $x$ hat die gleichen Nachbarschaften in Bezug auf $T_F$ wie in Bezug auf $T$, und so $\{x\}$ ist offen im Join von $T_F$und die euklidische Topologie. Nehmen wir zum Schluss an$x$ ist in dem $A_i$ das beinhaltet $0$;; sagen$0=a^i_0$ und $x=a^i_n$. Lassen$C=\{a^i_0,\dots,a^i_n\}$. Schon seit$F$ enthält den Cobounded Filter, es gibt einige $S\in F$ das ist von einem offenen Intervall getrennt $V$ was beinhaltet $C$. Der Satz$C\cup S$ ist dann in $T_F$, und $(C\cup S)\cap V=C$. Schon seit$C$ ist endlich, wir können es mit einem anderen offenen Intervall schneiden, um das zu finden $\{x\}$ ist offen im Join von $T_F$ und die euklidische Topologie.