GKS-Ungleichung mit Randbedingung

Question

Ich möchte wissen, ob die folgende Version der GKS-Ungleichung mit der Randbedingung für das Ising-Modell gilt oder nicht. Betrachten Sie Ising Modell auf$\mathbb{Z}^d$ und $\varnothing \neq A\subset \Lambda_1 \subset \Lambda_2 \subset \mathbb{Z}^d$. Lassen$x \in \Lambda_1 \setminus A$ und $\eta_A$ eine feste Konfiguration sein $A$. Ist das Folgende wahr? \ begin {Gleichung} \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_1} ^ {\ eta_A} \ leq \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_2} ^ {\ eta_A}, \ qquad (\ star) \ end {Gleichung} wobei$\langle \cdot \rangle_{\Lambda}^{\eta}$ ist die Erwartung an Gibbs zu messen $\Lambda$ mit Randbedingung $\eta$.

Ich weiß, dass die ursprüngliche GKS-Ungleichung mit freien Randbedingungen funktioniert, d. H. $A=\varnothing$und impliziert das für alle $B \subset \Lambda_1$ wir haben $\langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_1} \leq \langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_2}$mit $\sigma_B=\prod_{y\in B} \sigma_y$.

Können wir also die Ungleichheit beweisen oder widerlegen? $(\star)$?

Vielen Dank.

Update nach dem Kommentar von Prof. Yvan Velenik.

Wie von Yvan gezeigt, die Ungleichung $(\star)$ ist in der allgemeinen Einstellung nicht korrekt.

Ich arbeite mit einer bestimmten Einstellung wie folgt. Betrachten Sie einen verbundenen Graphen$G$ enthält mehrere Komponenten: $G=A\cup B \cup C$, wo $V(A)\cap V(B)=\varnothing$sagen wir, es gibt nur eine Kante $\{x,y\}$ zwischen $A$ und $B$ mit $y \in A$ und $x \in B$;; und$C=D \cup E$ mit $D\cap A = \varnothing$, $E\cap B=\varnothing$ und $B$ ist verbunden mit $D$ und $E$ ist mit beiden verbunden $A$ und $D$. Die Frage ist noch zu überprüfen

$$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G ? \qquad (1)$$

Es tut mir leid für die komplizierte Konstruktion von $G$. Eigentlich denke ich über den Fall nach$G$ist ein zufälliger Graph lokal baumartig. Ich möchte das Gibbs-Maß auf kürzen$G$ auf das Maß auf einem Ball (sagen wir $B$) um den Scheitelpunkt $x$. Das können wir also erwarten$A$ und $B$ sind sehr nah an Bäumen (es gibt nur wenige Zyklen in $A\cup B$). Annehmen$|G|=n$ und $|A\cup B|$ ist mehr oder weniger $(\log n)^3$.

Wenn die Ungleichung nicht wahr ist, können wir eine Annäherung wie erwarten $$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G + o_n(1)? \qquad (2)$$

wo $o_n(1)$ hängt nur ab von $n$.

Vielen Dank.

Answer 1

Sie können die Maßnahmen in berücksichtigen $\Lambda_1\setminus A$ und $\Lambda_2\setminus A$ mit freier Randbedingung, die die Wirkung von ersetzt $\eta_A$ durch ein geeignetes Magnetfeld, das auf die Eckpunkte an der Außengrenze von wirkt $A$. Wenn dieses induzierte Magnetfeld nicht negativ ist, dann ist Ihre Ungleichung$(\star)$ist nur GKS. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn$\eta_A$ hat nur $+$ dreht sich entlang der inneren Grenze von $A$.

Im Allgemeinen ist jedoch die Ungleichung $(\star)$hält nicht. Wenn es für allgemeine Randbedingungen galt$\eta$Dann würden Sie absurde Ergebnisse erzielen. Betrachten Sie in der Tat das Ising-Modell ohne Magnetfeld. Dann,$$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{-\eta_A} \geq -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{-\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ wobei die beiden Gleichungen der Spin-Flip-Symmetrie und der Ungleichung von folgen $(\star)$. Da von$(\star)$hättest du auch $$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} \leq \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ das würde man ableiten $\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}$, was im Allgemeinen leicht als falsch angesehen werden kann.

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Was ich unter "Ersetzen der Wirkung von " verstehe$\eta_A$ durch ein geeignetes Magnetfeld, das auf die Eckpunkte an der Außengrenze von wirkt $A$" ist das Folgende: die Energie in$\Lambda_1\setminus A$, vorausgesetzt, es gibt eine Randbedingung $\eta_A$ auf $A$ist $$ - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A}\sum_{j\in A} J_{i,j}\sigma_i\eta_j = - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A} \Bigl(\sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j \Bigr) \sigma_i , $$ so dass die Wirkung der Randbedingung als effektive Magnetfelder angesehen werden kann $h_i$ auf Eckpunkte einwirken $i\in\Lambda_1\setminus A$ und gegeben von $$ h_i = \sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j. $$