Glatte Oberfläche oder glatte Metrik? Verwirrt!
Ich bin ein Student Biginner in Differentialgeometrie, und ich fand oft den Begriff "glatte" Oberfläche in Artikeln der semi-Riemannschen Geometrie. Wenn wir das sagen$(S,d)$ (wo $d$ ist seine Metrik) ist eine glatte Oberfläche, bedeutet dies, dass:
-Die Metrik $d$ist glatt oder hängt die Glätte nicht von der Metrik ab? !! (weil sie manchmal "glatte" Oberfläche sagen, ohne die Metrik zu erwähnen)
- Oder kann die Oberfläche glatt sein, bedeutet dies, dass die Metrik glatt ist? !!
Bitte besprechen Sie und danke für jede Antwort.
Antworten
Die Metrik und die glatte Oberfläche sind zwei Dinge, die nichts miteinander zu tun haben: Die erste bedeutet dies $S$ ist eine topologische Mannigfaltigkeit, die mit einem glatten Atlas ausgestattet ist, während die zweite besagt, dass die Karte $d:S\to T^*S\otimes T^*S$ ist ein glatter Abschnitt, in dem die glatte Struktur auf dem Faserbündel liegt $T^*S\otimes T^*S$ wird durch den einen induziert $S$ (und $d$ hat seine Werte in symmetrischen Tensoren).
Beachten Sie, dass dies eine erweiterte Definition der Glätte von ist $d$und das erste, das Sie wahrscheinlich treffen werden, ist eher: für alle glatten Vektorfelder $X:S\to TS$, die Karte $S\to\mathbb{R}$ definiert von $x\mapsto d(X_x,X_x)$ ist glatt.
Es gibt im Wesentlichen zwei Konzepte, die nicht miteinander zusammenhängen.
Zunächst sagen wir, dass ein topologischer Raum $S$ ist eine glatte Oberfläche, wenn es eine offene Abdeckung gibt $\{U_\alpha\} _{\alpha \in I}$ und für jeden $\alpha$, ein Homöomorphismus $$\varphi_\alpha : U_\alpha \to \varphi_\alpha (U_\alpha) \subset \mathbb R^2$$ so dass wann immer $U_\alpha \cap U_\beta$ ist nicht leer, die Komposition $$ \varphi_\alpha \circ \varphi^{-1}_\beta : \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) \to \varphi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta)$$ ist eine reibungslose Zuordnung zwischen offenen Mengen in $\mathbb R^2$.
Das brauchen wir auch $S$ist Hausdarff und Parakompakt. Der Punkt ist, dass bei der Definition einer glatten Oberfläche keine Metrik beteiligt ist.
Bei der Untersuchung der Riemannschen Geometrie gibt man an jeder Tangentialebene an $T_xM$ ein inneres Produkt $g(x)$ (was reibungslos mit variiert $x$), so dass, wenn man eine glatte Kurve hat $\gamma : [a,b]\to S$kann man die Länge der Kurve definieren: $$L(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt = \int_a^b \sqrt{g(\gamma'(t), \gamma'(t))} dt$$ und damit kann man eine Metrik definieren $d$ auf $S$, gegeben durch: für jeden $p,q \in S$, Lassen $$ d(p, q) = \inf \left\{ L(\gamma) \big| \ \ \gamma: [a, b]\to S \text{ is piecewise smooth,} \ \gamma(a) = p, \gamma(q) = b\right\}.$$ Das kann man überprüfen
$d$ ist eine Metrik,
die metrische Topologie $(S, d)$ ist homöomorph zur ursprünglichen Topologie von $S$.
Also die Metrik $d$, als eine Funktion $S\times S \to [0,\infty)$ist immer kontinuierlich. Aber$d$ist niemals eine glatte Funktion, selbst wenn die Oberfläche und das innere Produkt glatt sind. Um ein Beispiel zu sehen, betrachten Sie die übliche Metrik auf$S = \mathbb R^2$:: $$d(p, q) = \sqrt{ (p_1 - q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}$$ beachten Sie, dass $d$ ist nicht differenzierbar, wann immer $p=q$. Im Algemeinen,$d$ ist an den meisten Punkten, die von der Diagonale entfernt sind, glatt, kann jedoch an einigen Stellen immer noch nicht differenzierbar sein $p\neq q$.