Grad einer Felderweiterung durch ein transzendentes Element

Question

Lassen$F$ein Feld sein, und lassen$F(x)$sei der Bruchkörper des Polynomringes$F[x]$. Mich interessiert der Grad der Felderweiterung$[F(x) : F]$. Offensichtlich ist es unendlich, aber was genau ist seine Mächtigkeit? Ist es$\aleph_0$? Kommt es auf den Bereich an$F$?

Answer 1

Das Natürliche$F$-Grundlage von$F(x)$ist$$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$Also (z$F$unendlich) liegt die Kardinalität der Basis zwischen der von$F$und$F[x]^2$, dh. es ist dasselbe wie$F$.

Answer 2

Für jedes unendliche Feld$F$,$F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$von gleicher Kardinalität ist$F$, und es gibt eine surjektive Abbildung$F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$gegeben von$(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$(wo$(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Seit$F[x] \times (F[x])^*$von gleicher Kardinalität ist$F[x]$, folgt das Ergebnis.

Wenn$F$ist endlich,$F[x]$ist abzählbar unendlich, und nach der gleichen Logik wie oben,$F(x)$ist ebenfalls abzählbar unendlich.