Grenzen und Doppelintegral?

Question

Bestimmen Sie das Doppelintegral $\int \int_{R} ye^y dxdy$, wo $R$ ist $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Ich habe Probleme zu verstehen, wie ich denken sollte, um die Grenzen zu erreichen.

$x\ne y$ weil $1\leq xy \leq 2$.

$x$ muss dann mindestens 1 größer sein $y$ weil $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Das gib mir $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Kann ich deshalb sagen, dass die Grenzen sind $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Sie müssen über zwei Regionen integrieren. Schnittpunkte sind

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Wir haben das $R$ entspricht dem Streifen zwischen den Linien

• $y=x-2$
• $y=x-1$

und die Hyperbeln

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Eine Möglichkeit, fortzufahren, besteht darin, die Schnittpunkte für diese Region zu finden und dann für jedes Teil entsprechend zu integrieren.