Grenzwertaustausch und Integral

Question

Lassen $f_m(x) =\lim_{n\rightarrow \infty}\cos(\pi m!x))^{2n}$;; wir wissen, dass es sich um eine integrierbare Funktion von Lebesgue und Riemann handelt, und$g(x)=\lim_{m\rightarrow \infty} f_m(x)$, die nicht Riemann-integrierbar, sondern Lebesgue-integrierbar ist. Ich möchte wissen ob$$\lim_{m\rightarrow \infty}\int_0^1f_m(x)dx = \int_0^1\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x)dx$$ Ich kenne einen Weg, um dies zu beweisen, indem ich den monotonen Konvergenzsatz verwende, aber ich glaube nicht, dass ich ihn seitdem hier verwenden kann $f_m(x)$ist nicht monoton. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Da Kosinus eine begrenzte Funktion ist, ist es trivial, den Satz der dominierten Konvergenz mit einer konstanten Funktion anzuwenden, die in einem endlichen Intervall in Lebesgue integrierbar ist. Die Aussage folgt dann