$h^{p,q}$ eines komplexen Torus.

Question

Wie wir wissen, ist eine kompakte Kähler-Oberfläche mit einem trivialen kanonischen Bündel eine K3-Oberfläche oder ein Torus der Dimension 2. Ich weiß $h^{0,2}$ einer K3-Oberfläche ist 1, und ich weiß $h^{0,2}$ eines Torus darf nicht Null sein (sonst ist es immer algebraisch), aber ich weiß nicht, wie man berechnet $h^{0,2}$ eines komplexen Torus der Dimension 2.

Gibt es übrigens eine allgemeine Methode, um alle Hodge-Zahlen eines komplexen Torus der Dimension zu berechnen? $n$? Kommentare sind willkommen!

Answer 1

Da Sie das Tag Hodge Theorie verwenden: Man kann geben $\mathbb C^n/\Gamma$ die flache Metrik von der von $\mathbb C^n$. Es reicht also aus, alle harmonischen Formen zu finden.

Da das komplexierte Kotangensbündel trivial ist und von den globalen Formen überspannt wird $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ alle $(p, q)$-Formen auf $\mathbb C^n/\Gamma$ sind global gegeben durch $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

wo $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. Schon seit

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

wenn $\alpha$ ist harmonisch, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$muss harmonische Funktionen sein. Schon seit$\mathbb C^n /\Gamma$ ist kompakt, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$sind Konstanten nach dem Maximalprinzip. So$H^{p,q}$ wird überspannt von $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

und

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$