Hat das Substitutionsaxiom Grenzen?
Nach Terence Taos Buch Analysis I ist das Substitutionsaxiom eines der vier Axiome der Gleichheit für Objekte (die grundsätzlich geeignete Mengenelemente sind). Insbesondere heißt es, dass für zwei beliebige Objekte$x$ und $y$ vom gleichen Typ, wenn $x$ = $y$, dann $f(x)=f(y)$ für alle Funktionen und Operationen $f$und das außerdem $P(x)$ und $P(y)$ sind logisch äquivalente Sätze (dh sie implizieren sich gegenseitig) für alle Sätze $P$ wessen Wahrheitswert davon abhängt $x$ und $y$.
Manchmal ist das Axiom der Substitution sinnvoll (dh korrekt), beispielsweise wenn Mengen als das fragliche Objekt betrachtet werden (sie sind tatsächlich gültige Objekte gemäß dem ersten im Buch vorgestellten Axiom der Mengenlehre) und die Operation betrachtet werden$f(X) = X \cup C$, wo $C$ist eine beliebige Menge. Dann kann man tatsächlich überprüfen, ob zwei Sätze$A$ und $B$ sind einander gleich (dh $A=B$), dann $f(A)=f(B)$ für die Operation $f$ oben definiert.
Aber es gibt Zeiten, in denen es anfängt zu handeln. Betrachten wir immer noch Sets als das fragliche Objekt$P(X)$ sei der Satz, dass die Elemente von $X$ sind vom kleinsten zum größten geordnet (der Wahrheitswert dieses Satzes hängt eindeutig von der Menge ab $X$ist, dass Sie es sozusagen "füttern"). Offensichtlich jedoch, wie Tao selbst anerkennt, auch wenn zwei Sätze$A$ und $B$ waren einander gleich, da Mengen ungeordnete Sammlungen von Elementen sind, gibt es viele Gegenbeispiele, die die Aussage gründlich widerlegen würden: $P(A)$ iff $P(B)$. Meine Frage lautet also: Hat das Substitutionsaxiom Grenzen für seine Anwendbarkeit, und wenn ja, kann jemand sehr explizit klären, was es ist? Vielen Dank.
Antworten
Kurz gesagt, es ist kein Problem des Axioms der Gleichheit, sondern ein Problem, dass Ihr "Eigentum" $P$ ist keine Eigenschaft.
Erstens, da Sie "das Objekt von Mengen betrachten", können Sie im Allgemeinen nicht über "am wenigsten" oder "am größten" sprechen. Zum Beispiel ist es sinnlos darüber zu sprechen, welches Element für die Menge größer ist$\{\text{cat, banana}\}$.
Gegeben eine endliche Teilmenge $S$ von ganzen Zahlen, "ob die Elemente von $S$sind vom kleinsten zum größten geordnet "ist kein Eigentum von$S$. Dies ähnelt dem Szenario, das$$ f(\frac{a}{b})=a+b\qquad a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}\setminus\{1\}. $$ist keine genau definierte Funktion für die Menge der rationalen Zahlen. Der Wert der "Funktion" hängt von den konkreten Darstellungen des Objekts rationaler Zahlen ab. Beispielsweise,$\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ sind das gleiche Element in der Menge der rationalen Zahlen, aber $1+2\ne 2+4$.
Zurück zu Ihrem Fall, $\{1,2\}$ und $\{2,1\}$sind zwei verschiedene "Darstellungen" (was auch immer das bedeutet) desselben Objekts von Mengen. Ihre "Eigenschaft" hängt jedoch von verschiedenen "Darstellungen" ab und ist daher keine Eigenschaft einer endlichen Teilmenge von ganzen Zahlen.
Ihre Aussage, dass $P(X)$ ist der Satz, dass die Elemente von $X$ werden geordnet vom kleinsten zum größten stillschweigend auf zwei Annahmen gestützt: (1) dass $X$ist eine Folge von Objekten und (2) dass es eine Ordnungsbeziehung zu diesen Objekten gibt. Wenn Sie diese Annahmen explizit machen (wie Sie müssen, wenn Sie modellieren möchten$P$in set thoery) gilt dann das Axiom der Substitution. Der Begriff der referenziellen Transparenz könnte Sie interessieren .