Hat K und sein Hilbert-Klassenfeld den gleichen Dirigenten?

Question

Lassen $K$ sei ein abelsches Zahlenfeld und $H(K)$ sei das Hilbert-Klassenfeld von $K.$

Definition: (Leiter eines abelschen Zahlenfeldes) Let$K$ sei ein Zahlenfeld mit der abelschen Galois-Gruppe vorbei $\Bbb{Q}.$ Der Schaffner $n$ ist die kleinste gerade Zahl, so dass $K\subset Q(\zeta_n).$

Wille $K$ und $H(K)$den gleichen Dirigenten haben? Vorausgesetzt, dass$H(K)$ ist abelian vorbei $\Bbb Q$.

Answer 1

Ja. Unter den von Ihnen beschriebenen Bedingungen$H(K)$ stimmt mit dem Feld der Gattungsklasse überein $G(K)$, der den gleichen Leiter hat wie $K$. Für eine explizite Beschreibung von$G(K)$siehe Xianke Zhangs Artikel von 1985 .