Homotopie bauen

Question

Lassen $X,Y$ topologische Räume sein und $f,g:X \rightarrow Y$kontinuierliche Karten sein. Annehmen$f,g$ sind homotopisch durch eine Homotopie $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Lassen$\gamma$ sei ein Weg in $Y$ mit Endpunkten $y_0=f(x_0)$ und $z_0=g(x_0)$ definiert von $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Lassen$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ eine Schleife sein $X$ mit $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Ich möchte zeigen, dass die Wege$f \circ \alpha$ und $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ sind Pfad homotopisch durch Konstruktion einer Homotopie $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
ich weiß das$\gamma$ induziert eine Änderung des Basispunktisomorphismus $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ gegeben durch $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ für alle $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Ich weiß nicht, wie ich diese Homotopie bauen soll$G$ speziell, aber ich weiß, dass es Folgendes erfüllen muss: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

Satz: Lass $h:X \to Y$eine kontinuierliche Funktion sein. Wenn$α,β$ sind homotopische Pfade in $X$ dann $hoα$ und $hoβ$ sind homotop in $Y$.
Wir geben an, dass es eine fortlaufende Karte gibt$H:X×I \to Y$ so dass $H(x,0)=f(x)$ und $H(x,1)=g(x)$.
Daher, um diese Wege zu zeigen$foα$ und $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ sind homotopisch müssen wir nach Wegen suchen $X×I$ so dass ihr Bild unter H ist $foα$ und $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Lassen$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Daher$p$ und $c \ast q \ast \hat c$sind unsere erforderlichen Wege.
Nun lass$G:I×I \to X×I$ definiert werden als $G(s,t)=(α(s),t)$. Nun, wenn wir Wege finden können in$I×I$ so dass ihr Bild unter G sind $p$ und $c \ast q \ast \hat c$ Wir sind fertig, weil das bedeutet $p$ und $c \ast q \ast \hat c$sind homotopisch.
Lassen$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ und $d(s)=(s,0)$.
Man kann sehen, dass$d$ und $a \ast b \ast \hat c$sind die erforderlichen Pfade. Nun da beide Pfade$d$ und $a \ast b \ast \hat c$ haben den gleichen Anfangs- und Endpunkt und seitdem $I×I$ist einfach verbunden, sie sind homotopisch. Impliziert$p$ und $c \ast q \ast \hat c$ sind homotopisch impliziert $foα$ und $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ sind homotopisch.