Honigbienenkater

Question

Eine betrunkene Honigbiene landet auf einem völlig zufälligen Sechseck eines großen dreieckigen Abschnitts (siehe unten) ihres Bienenstocks und macht danach jede Sekunde einen Schritt zu einem völlig zufälligen benachbarten Sechseck. Wie lange dauert es durchschnittlich, bis die Honigbiene aus dieser Region entkommt?

Dies ist mein eigenes transformatives Ergebnis eines bestehenden Wahrscheinlichkeitsproblems. Hinweis: Die Lösung (für diesen Fall) ist eine Ganzzahl!

Answer 1

Lassen $n$ sei die Größe des Dreiecks und $(a,b,c)$ die Schwerpunktkoordinaten eines gegebenen Sechsecks innerhalb dieses Dreiecks, so dass $a+b+c = n+2$. Ich behaupte, dass die durchschnittliche Fluchtzeit$E$ wenn von diesem Sechseck ausgehend ist $\frac {3abc} {n+2}$(1). In der Tat haben wir das Gleichungssystem$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
und es ist einfach zu überprüfen, ob die $E$ gegeben durch (1) erfüllt diese Gleichungen und die Randbedingungen, die sind $E(a,b,c) = 0$ wenn $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Es bleibt über den Startpunkten zu mitteln: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ Die Summe kann bis zu den Vorfaktoren des Binomialkoeffizienten erkannt werden $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ Nachgeben $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Um eine gewisse Intuition für die Formel zu bekommen $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$Denken Sie daran, dass der Binomialkoeffizient auf dem lhs als das Volumen (Anzahl der Kanonenkugeln) in einem 2n + 1-dimensionalen pyramidenförmigen Stapel von Kanonenkugeln mit N Kanonenkugeln entlang jeder Kante interpretiert werden kann. Dies kann durch ein routinemäßiges Stern-und-Balken-Argument unter Verwendung von Schwerpunktkoordinaten gezeigt werden.

Quelle: Wikipedia gemeinfrei

Lassen wir die Feinheiten der Diskretisierung beiseite und projizieren wir das $2n+1$-simplex (was hat $2n+2$ Schwerpunktkoordinaten) zu den $n$-simplex (was hat $n+1$Schwerpunktkoordinaten) einfach durch Pairing von Koordinaten und Summieren von Paaren. Wir können uns nun fragen, wie Form und Volumen der Teilmenge des großen Simplex sind, die auf einen einzelnen Punkt im kleinen Simplex abgebildet wird. Man kann herausfinden, dass es ein (Hyper-) Quader sein muss, aber vielleicht ist es einfacher, sich nur ein Bild anzusehen:

Quelle: Wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen