Ich bin verwundert über $\mathcal{L}^2$-martingales

Question

Ich komme aus der Physik und bin ziemlich neu in Martingalen. Jetzt versuche ich, einige Konzepte zu verstehen $\mathcal{L}^2$-martingales. Eine Übung, die ich in meiner Vorlesung erhalten habe, lautet wie folgt:

Lassen $\{M_n\}_{n\geq0}$ sei ein Martingal in $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, und $\{H_n\}_{n\geq0}$ eine Folge von sein $\mathcal{F}_n$-Messbare begrenzte Zufallsvariablen, wobei $\mathcal{F}_n$ ist die natürliche Filtration von $M_n$. Definieren$I_n:=\sum_{k=1}^nH_{k-1}(M_k-M_{k-1})$.

a) Beweisen Sie das $\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)=\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]$.

b) Beweisen Sie das $\{I_n\}_{n\geq1}$ ist ein Martingal in $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

c) Zeigen Sie das $E(I_n^2)=\sum_{k=1}^n\mathbb{E}[H_{k-1}^2(M_k-M_{k-1})^2]$.

Mein Verständnis ist, dass Inkremente orthogonal sind, also wenn $m\leq n$ und $X\in\mathcal{F}_m$ mit $\mathbb{E}(X)<\infty$, dann $\mathbb{E}[X(M_n-M_m)]=0$. Daher für a), wenn ich die RHS erweitert habe, $\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2+2M_{n-1}M_n])=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)+2\mathbb{E}(M_{n-1}M_n)=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)$, aber heißt das, das zu fordern?  $M_0=0$wie? (Ich habe die gleiche Abfrage beim Anwenden der Orthogonalität für Teil c).)

Was Teil b) betrifft, bin ich mir nicht sicher, wie ich die Informationen anwenden soll, über die ich habe $\{M_n\}$ und $\{H_n\}$ (quadratisch integrierbar, messbar, $H$ist begrenzt). Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Begrenztheit in beiden beweisen soll$\mathcal{L}^1$ und $\mathcal{L}^2$Könnte mich jemand in die richtige Richtung weisen? Ich weiß, ich muss die Begrenztheit von nutzen$H$ aber ich kann nicht genau herausfinden, wo ... Um die Martingal-Eigenschaft zu beweisen, habe ich ein zweifelhaftes Argument verwendet, um "herauszunehmen, was bekannt ist" $H_n$ wie es angepasst ist $\mathcal{F}_n$, aber ich denke, ich könnte mich nur auf zufällige Dinge konzentrieren, die ich zu diesem Zeitpunkt über Martingale gelernt habe ... könnte jemand auch eine Inspiration dafür liefern?

Meine letzte Frage ist, was ist das Besondere daran? $\mathcal{L}^2$-martingales oder allgemein $\mathcal{L}^p$Martingale? (Ich weiß nur das$X_n\overset{\mathcal{L}^p}{\to}X$ wenn $\mathbb{E}(|X|^p)<\infty$ zum $p>1$ (und für $p=1$ wir verlangen, dass sie UI sind), haben aber nicht viel darüber hinaus gesehen.) Hat dies etwas mit quadratischen Variationen in Brownian Motion zu tun?

Answer 1

Lassen $\{M_n\}$ sei ein quadratisch integrierbares Martingal in Bezug auf die Filtration $(\mathcal F_n)$, Lassen $(H_n)$ Sein $(F_n)$ angepasster Prozess (das heißt $H_n$ ist $\mathcal F_n$ messbar)

Lassen $I_n = \sum_{k=1}^{n} H_{k-1}(M_k - M_{k-1})$

Wir wollen zeigen $3$ Dinge:

a) Erweitern des Quadrats, das wir erhalten $(M_n - M_{n-1})^2 = M_n^2 + M_{n-1}^2- 2M_nM_{n-1}$, damit:

$$ \mathbb E[(M_n - M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] + \mathbb E[M_{n-1}^2] - 2\mathbb E[M_n M_{n-1}]$$

Aber durch Martingal Eigentum $\mathbb E[M_nM_{n-1}] = \mathbb E[\mathbb E[M_n M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = \mathbb E[M_{n-1}\mathbb E[M_n \mathcal F_{n-1}]] = \mathbb E[M_{n-1}^2]$daher $$ \mathbb E [(M_n-M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] - \mathbb E[M_{n-1}^2]$$

b) Wir müssen zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt $L_2$, so dass es drei Dinge erfüllen muss.

• $I_n$ ist $\mathcal F_n$messbar. In der Tat jeder$H_k$ und $M_k$ zum $k \in \{1,...,n\}$ sind $\mathcal F_n$ messbar, also $I_n$ als Produkt / Summe davon ist $\mathcal F_n$ messbar.

• $I_n$ist quadratisch integrierbar. Beachten Sie, dass seit jedem$H_k$ Ist eine Zufallsvariable begrenzt, dann existiert sie $M$ so dass $|H_1|,...,|H_n| < M$ daher fast sicher $$ \mathbb E[I_n^2] \le \mathbb E[ (\sum_{k=1}^n |H_{k-1}||M_k - M_{k-1}|)^2] \le M^2 \mathbb E[(\sum_{k=1}^n |M_k - M_{k-1}|)^2].$$ Wenn wir das Quadrat erweitern, erhalten wir endlich viele Formbegriffe $(M_k - M_{k-1})^2$ oder $(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})$ es würde also in der Tat ausreichen, dies zu beweisen $M_jM_k$ ist für jeden integrierbar $j,k \in \{1,...,n\}$ (daher dann unsere $I_n^2$war durch eine endliche Summe solcher Begriffe begrenzt, wäre also integrierbar). Aber für$j \le k$ wir bekommen $\mathbb E[M_kM_j] = \mathbb E[M_j \mathbb E[M_k|\mathcal F_j]] = \mathbb E[M_j^2] < \infty$, schon seit $(M_n)$ war quadratisch integrierbar.

• Bedingte Eigenschaft. Such dir irgendeine aus$n \in \mathbb N$. Wir haben:$$ \mathbb E[I_n|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^n \mathbb E[H_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^{n-1} H_k(M_k - M_{k-1}) + \mathbb E[H_{n-1}(M_n - M_{n-1}) | \mathcal F_n] $$

Die erste Summe ist gerecht $I_{n-1}$ und der letzte Begriff ist $0$, Ursache aufgrund der Messbarkeit können wir nehmen $H_{n-1}$ aus bedingter Erwartung und über Martingal-Eigentum, $\mathbb E[M_n - M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = 0$

c) Writtin $I_n^2$ ähnlich wie in b) sehen wir, dass es ausreichen würde, dies für zu beweisen $j < k$ wir haben $\mathbb E[(M_k - M_{k-1})(M_j - M_{j-1})] = 0$(weil dann nur "diagonale" Begriffe "überleben"). Und um es zu sehen, einfach weiter machen$\mathcal F_{j}$ und messbar nehmen $(M_j-M_{j-1})$ aus innerer Erwartung und dann mit Martingal-Eigentum im Inneren, bekommen:

$$ \mathbb E[(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\mathbb E[(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_j]] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\cdot 0] = 0$$