"Imaginärer" Teil einer Quaternion

Question

Mit komplexen Zahlen schreiben wir $Im(z)$ den Imaginärteil einer komplexen Zahl zu bezeichnen $z$. Ich habe mich gefragt, was$Im(q)$, wo $q$ ist eine quaternion, würde zeigen: wäre es die $i$ Teil der Quaternion oder alle $i$, $j$, und $k$Teile? Und wenn alle drei Teile angezeigt werden, gibt es eine Notation für die einzelnen Teile?

Falls dies unklar ist, wenn $q = 1 + 2i + 3j + 4k$, würde $Im(q)$ Sein $2i + 3j + 4k$ (oder möglicherweise der Vektor $(2, 3, 4)$) oder nur $2$? Und wie würden Sie die einzelnen Teile$3$ und $4$ separat?

Answer 1

Normalerweise ist der Imaginärteil von $a+bi+cj+dk$ ist $bi+cj+dk$. Wenn ich darüber sprechen möchte, sagen wir:$c$, dann erwähne ich den Koeffizienten von $j$.

Answer 2

Real- und Imaginärteil von Quaternionen ist klar definiert. Betrachten wir eine Quaternion$w+ix+jy+kz$. Oft schreiben wir das Quaternion als 4D-Vektor$q=[w,x,y,z]^T$. Jetzt definieren wir den Realteil$$ \operatorname{Re}q = w \qquad\text{and}\qquad \operatorname{Im}q = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}. $$

Dies ist sehr hilfreich, da Sie Quaternionen darstellen können $q$ in polarer Form $$ q = r\exp\biggl(\begin{bmatrix}0\\\mathbf{v}\end{bmatrix}\biggr), $$ wo $r=\lVert q\rVert_2$ wird mit dem Exponential der rein imaginären Quaternion multipliziert $[0,\mathbf{v}^T]^T$. Dies ist sehr ähnlich zu$$ z = r\mathrm{e}^{i\phi},$$ wo $z$ ist eine komplexe Zahl, $r=|z|$ und $i\phi$ ist eine rein imaginäre Zahl.

Wenn Sie nur den Faktor vor einem von wollen $i,j,k$Siehe Josés Antwort.