Induzierte Wirkung durch eine Involution auf das Spinorbündel und den Dirac-Operator

Question

Lassen $M$ sei ein $4n$-dimensionale Spin-Mannigfaltigkeit mit einer festen Riemannschen Metrik $g$. Lassen$S$ sei ein Spinorbündel vorbei $M$und befestigen Sie die Riemannsche Verbindung darauf. Es gibt eine Zersetzung$S=S^+\oplus S^-$, wo $S^\pm$ ist der $\pm$1-Eigenbündel in Bezug auf die Clifford-Multiplikation mit $\omega=e_1\cdot ...\cdot e_{4n}$, wo $\{e_1,...,e_{4n}\}$ ist eine positiv orientierte orthonormale Basis von $T_xM$ bei jedem $x\in M$.

Nun lass $t:M\rightarrow M$ eine Orientierungs- und Spinstruktur sein, die die Involution bewahrt (festpunktfrei), die eine Isometrie für die Metrik ist $g$. Diese Involution hebt sich zu einer Handlung auf$T:S\rightarrow S$ auf dem Spinorbündel.

Frage 1: Wie zeigt man das?$T$ bewahrt das oben genannte $\mathbb{Z}_2$-grading und dass es mit dem Dirac-Operator pendelt $D:\Gamma(S)\rightarrow \Gamma(S)$ definiert von $D\sigma=\sum e_j\cdot \nabla_{e_j}\sigma$, wo $\nabla$ ist das kovariante Derivat mit der Riemannschen Verbindung verbunden?

Frage 2: Wie induziert der obige Dirac-Operator einen Dirac-Operator auf dem Quotientenverteiler?$M/t$?

Answer 1

Die Aktion $T\colon S\to S$ ist kompatibel mit der Clifford-Multiplikation, daher die Zerlegung in $\pm1$Eigenräume bleiben erhalten. Darüber hinaus bleibt auch die Spinverbindung erhalten, und nach der Definition des Dirac-Operators sollte dies Frage 1 lösen.

Answer 2

Bei Frage 2 ist der ursprüngliche Verteiler M eine doppelte Abdeckung des Quotientenraums, da es sich um eine Involution handelt. Wenn Sie einen Operator haben, der mit der Involution auf dem Abdeckungsraum pendelt, sollte er in den Quotientenraum absteigen. Wenn es "schöne" Fixpunkte gibt, kann man einen Orbifold oder einen geschichteten Raum erhalten, in dem man einen Dirac-Operator und die gesamte Struktur noch verstehen kann, möglicherweise nachdem man den Raum aufgelöst hat. Zum Beispiel Hartmann, Lesch und Vertman - Auf dem Gebiet der Dirac- und Laplace-Typoperatoren auf geschichteten Räumen und Albin und Gell-Redman - Die Indexformel für Familien von Dirac-Typoperatoren auf Pseudomanifolds .