Integral einer Spur und Divergenzsatz

Question

Ich habe die folgende Gleichheit in einer Arbeit gefunden, die ich gerade lese, und bin hängen geblieben, weil ich sie nicht überprüfen kann.

Wir haben ein divergenzfreies, glattes Vektorfeld$V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$auf dem Torus definiert. Das wird behauptet$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$wo$dx$ist das Standard-Lebesgue-Maß auf dem Torus. Meine einzige Idee, dies zu überprüfen, besteht darin, auf die partielle Integration und den Divergenzsatz zurückzugreifen: Die im Integral erscheinende "Spur" sollte auf die Divergenz einer bestimmten Größe reduziert werden (unter Verwendung der Tatsache, dass$\text{div } V = 0$) und dann würde die Schlussfolgerung tatsächlich durch den Divergenzsatz folgen (da wir uns auf dem Torus befinden).

Allerdings geht etwas kaputt: In 2D sagt mir eine explizite Berechnung, dass der Integrand ist$$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$(mit offensichtlicher Notation für Derivate und$V=(v_1,v_2)$) und ich versäume es, dies als Divergenz von etwas zu schreiben, nicht einmal die Integration von Teilen oder die Tatsache, dass$\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

Ich denke, es sollte einen einfachen (allgemeinen?) Trick geben, aber nach einer Nacht voller Berechnungen gebe ich auf. Danke für Ihre Hilfe.

Answer 1

Betrachten Sie die folgenden Vektorfelder:$$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$An$\mathbb T^N$. Dann gilt nach dem Divergenzsatz$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$Seit

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

man erhält das Ergebnis.

Answer 2

Also nach Teilen integrieren und die Tatsache nutzen, dass$\nabla\cdot v=0$Sie haben$$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$so$$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$