Integrationsrichtung ändern

Question

Ich muss die Richtung des Integrals ändern:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Soweit ich weiß, muss ich zuerst die Formen finden:

$0.5y^2 = x$ und $\sqrt{3-y^2} =x$

Form I ist eine Parabel: $y^2 = 2x$
Form II ist ein Kreis $x^2 + y^2 = 3$ (Radius von $\sqrt{3}$)

Wir zeichnen also im Grunde genommen horizontale Pfeile von der Parabel zum Kreis, während wir behalten $0 \leq y \leq 1$.

Etwas, das diesem Bild sehr ähnlich sieht:

Wir müssen vertikale Linien zeichnen, also sieht es so aus, aber wir haben 3 Bereiche:

1. Wo wir die Parabel treffen (rot)
2. Wo wir die Linie treffen $y=1$ (Grün)
3. Wo wir den Kreis treffen (blau)

Und so lautet meine endgültige Antwort:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Habe ich soweit recht? Wenn nicht, wie kann ich das beheben? Ich fühle mich festgefahren, da ich keine Ahnung habe, wie ich weitermachen soll ... Ich würde mich über Ihre Hilfe freuen! Vielen Dank!

Answer 1

Was du getan hast, ist richtig. Du bist fertig.

Überprüfung Ihrer Arbeit, $y=1$ sich schneiden $0.5y^2=x$ beim $x=0.5$. (Dies entspricht dem orangefarbenen Bereich.$0.5y^2=x$ ist äquivalent zu $y=\sqrt{2x}$ wann $y>0$.

Ebenfalls, $y=1$ sich schneiden $\sqrt{3-y^2}=x$ beim $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ ist gleichbedeutend mit $y=\sqrt{3-x^2}$ wann $y>0$.

Die untere Grenze ist immer $y=0$.

Sie können es auch kompakt ausdrücken als

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Die weitere Bewertung hängt vom Detail ab $f$. Eine der möglichen Motive für die Änderung der Ordnung des Integrals ist die Form von$f$ ist einfacher in eine bestimmte Reihenfolge zu integrieren.

Bemerkung: Abhängig von Ihrer Kommunikation schreiben einige es als

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$