Intuition hinter numerischen Lösungen für ODE
Was mich an numerischen Lösungen für ODE immer gestört hat, ist, dass mir nicht klar ist, wie gut davon ausgegangen werden kann, dass das Diskretisierungsschema einer lokalen Ableitung wirklich nahe kommt.
Die grundlegendste Euler-Diskretisierung ergibt:
$$ x_{n+1} \approx h*f(t_n,x_n)+x_n,$$ $$ t_{n+1} = t_n + h$$
Im noch einfacheren autonomen Fall erhalten Sie:
$$ x_{n+1} \approx h*f(x_n)+x_n,$$
Mir ist jedoch nicht klar, wie gut die erste Annäherung tatsächlich gilt, insbesondere scheint es eine globale Bindung zu geben $f$um jede Art von Fehler gebunden zu beanspruchen. Dies liegt daran, dass die ODE möglicherweise wild schwingen oder explodieren kann. Könnte mir jemand erklären, warum diese Schemata für die meisten Probleme in der angewandten Mathematik funktionieren?
Antworten
Sie haben Recht zu vermuten, dass einige Bedingungen auf$f$sind für die Konvergenz erforderlich. Zur Vereinfachung der Darstellung gebe ich zunächst einen Beweis unter der Annahme ziemlich starker Bedingungen$f$ und anschließend diese Bedingungen entspannen.
Lassen $x$ eine befriedigende Funktion sein $x^{\prime}(t)=f(t,x(t))$auf der realen Linie. Vorausgesetzt$x$ ist zweimal kontinuierlich differenzierbar, ergibt sich Taylors Theorem $$ x(t+h)=x(t)+hf(t,x(t))+O(h^{2}) $$ für jeden $h>0$. Betrachten Sie als nächstes das Einheitsintervall und unterteilen Sie es in$N$ Stücke der Länge $h=1/N$, bezeichnet die Grenzen mit $t_{n}=nh$. Das Forward Euler-Schema ist definiert durch$\mathbf{x}_{0}=x(0)$ und iteriert $$ \mathbf{x}_{n+1}\equiv\mathbf{x}_{n}+hf(t_{n},\mathbf{x}_{n}). $$ Beachten Sie insbesondere, dass $x$ und $\mathbf{x}$beziehen sich auf verschiedene Größen: Ersteres erfüllt eine ODE, während Letzteres die Lösung des Forward-Euler-Schemas ist. Letztendlich möchten wir den Unterschied zwischen diesen beiden Größen vergleichen. Bezeichnen Sie diesen Fehler$\mathbf{e}_{n}\equiv\mathbf{x}_{n}-x(t_{n})$. Dann,$$ \mathbf{e}_{n+1}=\mathbf{e}_{n}+hf(t_{n},\mathbf{x}_{n})-hf(t_{n},x(t_{n}))+O(h^{2}). $$ Vorausgesetzt $f$ ist unabhängig von begrenzt $t$ und $x$impliziert das oben Gesagte $\mathbf{e}_{n+1}=\mathbf{e}_{n}+O(h)$ und daher $\mathbf{e}_{n}=nO(h)$durch Induktion. Schon seit$n\leq N=1/h$, $\mathbf{e}_{n}=O(1)$. Das heißt, der Fehler ist unabhängig von begrenzt$n$(Wir werden diese Grenze unten verschärfen). Annahme der ersten räumlichen Ableitung$f_{x}$ von $f$ existiert und ist unabhängig von begrenzt $t$ und $x$, eine andere Anwendung von Taylors Theorem ergibt $$ f(t_{n},\mathbf{x}_{n})=f(t_{n},x(t_{n})+\mathbf{e}_{n})=f(t_{n},x(t_{n}))+O(1). $$ Kombiniert man dies mit der Wiederholung des Fehlers, $$ \mathbf{e}_{n+1}=\mathbf{e}_{n}\left(1+O(h)\right)+O(h^{2}). $$ Durch Induktion, $\mathbf{e}_{n}=nO(h^{2})$. Schon seit$n\leq N=1/h$erhalten wir die engere Bindung $\mathbf{e}_{n}=O(h)$. Das heißt, der Fehler ist in der Größe der Diskretisierung linear.
Die Begrenztheit von $f$ und $f_{x}$sind stärkere Anforderungen als nötig. In der Tat annehmen$f$ist lokal Lipschitz im Raum, gleichmäßig in der Zeit. Lassen$A=[-a,a]$ sei ein Intervall mit $a>0$. Durch Einschränkung des räumlichen Arguments$x$ von $f$ auf das Intervall $A$erhalten wir eine Funktion, die (global) Lipschitz im Raum ist, gleichmäßig in der Zeit. Insbesondere für$x$ im $A$, $$ \left|f_{x}(t,x)\right|\leq\lim_{h}\frac{Lh}{h}=L. $$ und $$ \left|f(t,x)\right|\leq\left|f(t,0)\right|+L\left|x\right|. $$ Wenn zusätzlich $\sup_{t \in [0,1]}|f(t,0)|<\infty$Die obigen Ungleichungen implizieren dies $f$ und $f_{x}$ sind begrenzt auf $[0,1] \times A$. Dies ist für unsere Zwecke ausreichend, solange das Schema stabil ist (d. H.$\max_{n}|\mathbf{x}_{n}|$ ist unabhängig von begrenzt $h$). In diesem Fall funktioniert der im ersten Teil dieses Beitrags gegebene Beweis immer noch, da beide$x$ beschränkt auf $[0, 1]$ und $\mathbf{x}$ sind begrenzt (erinnern Sie sich, dass wir die Kontinuität von angenommen haben $x$ am Anfang dieses Beitrags).