Inverse einer Cauchy-ähnlichen Matrix

Question

Erwägen $n\times n$ symmetrische Cauchy-ähnliche Matrix $M$ mit Elementen $(M_{ij})_{i,j=1}^{n}$ gegeben durch

$$M_{ij} = \frac{1}{(n-i)!(n-j)!(2n-i-j+1)} = \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{n-i}}{(n-i)!} \frac{x^{n-j}}{(n-j)!}\:{\rm{d}}x.$$

Gibt es eine Möglichkeit, die Elemente der Inversen zu berechnen? $(M^{-1})_{ij}$ analytisch?

Answer 1

Ich konnte dies durch Betrachten herausfinden $M$ als skalierte Cauchy-Matrix.

Satz. $\left(M^{-1}\right)_{ij} = \dfrac{(n-i)!(n-j)!}{2n-i-j+1}\dfrac{\displaystyle\prod_{r=1}^{n}(2n-i-r+1)(2n-j-r+1)}{\left(\displaystyle\prod_{\stackrel{r=1}{r\neq i}}^{n}(r-i)\right) \left(\displaystyle\prod_{\stackrel{r=1}{r\neq j}}^{n}(r-j)\right)}$.

Beweis. Definieren$n\times 1$ Vektor $\alpha$ mit Elementen $(\alpha)_{i} = 1/(n-i)!$. Dann$M = \text{diag}(\alpha) N \text{diag}(\alpha)$, wo $N_{ij} := 1/(2n-i-j+1)$. Daher$\left(M^{-1}\right)_{ij} = (n-i)!(n-j)!\left(N^{-1}\right)_{ij}$.

Schreibe jetzt $N$ als Cauchy-Matrix: $N_{ij} = 1/(a_i + b_j)$ wo $a_i := n-i$, $b_j := n-j+1$. Dann unter Verwendung des bekannten Ergebnisses [1, Sec. 1.2.3, Aufgabe 41] für die inverse Cauchy-Matrix:$$\left(N^{-1}\right)_{ij} = \dfrac{1}{2n-i-j+1}\dfrac{\displaystyle\prod_{r=1}^{n}(2n-i-r+1)(2n-j-r+1)}{\left(\displaystyle\prod_{\stackrel{r=1}{r\neq i}}^{n}(r-i)\right) \left(\displaystyle\prod_{\stackrel{r=1}{r\neq j}}^{n}(r-j)\right)},$$ das Ergebnis folgt.

[1] DE Knuth, Die Kunst der Computerprogrammierung. Band 1: Grundlegende Algorithmen, 3. Aufl. Addison-Wesley, 1997.