Isomorphismus von $S^1$.

Question

Definieren $S^1 = \{ z \in \mathbb{C^*} \: : \: |z| = 1 \}$. Meine Frage ist, gibt es einen Ring?$R$ so dass $(R, + )$ ist isomorph zu $S^1$? Meine Intuition sagt nein, aber wie würde ich das zeigen?

Answer 1

Die Antwort ist nein: $S^1$ ist teilbar, was für jeden bedeutet $x\in S^1$ und alle $n\in \mathbb Z$, es gibt $y$ mit $y^n = x$. Wenn wir schreiben$S^1$ additiv sagt dies $ny = x$.

Insbesondere wenn $e$ ist die multiplikative Einheit einer Ringstruktur auf $S^1$, $e$ ist teilbar, was insbesondere dies impliziert $n\cdot e$ ist für jeden invertierbar $n$: Lassen $y$ erfüllen $n\cdot y =e$, dann $e= n\cdot y = (n\cdot e)y$.

Insbesondere wenn $n\cdot x = 0$, dann $(n\cdot e) x= 0$, damit $x=0$: das würde bedeuten $S^1$ ist torsionsfrei, was es nicht ist.

Answer 2

Dies ist keine Antwort auf die Frage . Hier werde ich die folgende Frage beantworten. Gibt es eine Einheitsringstruktur auf$(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$ Folgen Sie dem Kommentarbereich .

Angenommen, es gibt eine andere Operation $\bullet$ so dass $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$ wird ein Ring mit $\bullet$-Identität $e\in\Bbb R/\Bbb Z$ so dass wir haben $k\in \Bbb N$ mit $ 0=e+...+e(k$-Zeit Addition$)$, wo $ 0$ ist die additive Identität von $(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$. Nun zu jedem$x\in\Bbb R/\Bbb Z$ wir haben $$x+...+x=(e\bullet x)+...+(e\bullet x)=(e+...+e)\bullet x=0\bullet x=0,$$ das sagt uns ecah $x\in\Bbb R/\Bbb Z$ muss höchstens haben $k$-als additive Ordnung, ein Widerspruch, da $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$hat Elemente aller Bestellungen. Vor allem Addition darstellt$k$-Zeit Addition.

Oben ist ein Sonderfall der Tatsache. Wenn eine Gruppe Elemente jeder Ordnung und jedes Element eine endliche Ordnung hat, gibt es keine einheitliche Ringstruktur in der Gruppe.

Was bleibt, ist, dass es einen einheitlichen Ring gibt $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$ Für eine Multiplikation $*$ so dass $*$Identität von $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$hat unendliche additive Ordnung? Mit anderen Worten,$*$-Identität ist von der Form $\alpha+\Bbb Z$ für einige irrationale $\alpha?$

Antwort auf die zweite Frage: Wenn$(\Bbb R/\Bbb Z,+,∗)$ waren ein Ring mit Einheit $u$, dann seit $\Bbb R/\Bbb Z$ ist teilbar, da würde ein Element existieren $v$ so dass $v+v=u$, aber dann $\overline{1/2}=u∗\overline{1/2}=(v+v)∗\overline{1/2}=v∗(\overline{1/2}+\overline{1/2})=v*\overline 1=v*\overline 0=\overline 0$ein Widerspruch.