Ist das Set eine Gruppe?

Question

Lassen $A$ eine nicht leere Menge sein, $+$ ist eine assoziative binäre Operation und für jede $a$ im $A$, die zwei Karten

1. $A \to A$ das sendet $x$ zu $x+a$
2. $A \to A$ das sendet $x$ zu $a+x$

sind bijektive Karten. Die Frage ist festzustellen, ob$(A, +)$ eine Gruppe oder nicht?

Ich verstehe das $A$ ist eine Gruppe, wenn sie eine Identität hat und jedes Element eine Umkehrung hat, aber ich bin nicht ganz sicher, wie ich diese bijektiven Karten verwenden soll, um dies zu beweisen / zu widerlegen $A$ ist eine Gruppe.

Answer 1

Neutrales Element (Identität)

Korrigieren Sie ein beliebiges Element $a$. Da die Karte$x \to a + x$ ist bijektiv, das Element $a$ hat genau ein Vorbild unter dieser Karte, dh es existiert ein eindeutiges Element $e$ so dass $a + e = a$.

Der nächste Schritt ist zu beweisen $\forall y: y + e = y$. Wählen Sie eine beliebige$y$. Durch die Bijektivität der Karte$x \to x + a$ es gibt eine $x$ so dass $x + a = y$. Nun hinzufügen$x$ links zur Gleichheit $a + e = a$ (und mit Assoziativität) bekommen wir $y + e = y$, qed.

Damit, $e$ist ein rechtes neutrales Element. Dann beachte das$e + e = e$und durch das gleiche Argument wie oben $e$ ist auch ein linkes neutrales Element.

Inverses

Schließlich müssen wir die Existenz von Inversen beweisen. Wählen Sie eine beliebige$x$. Durch die Surjektivität der linken und rechten Addition existieren Elemente$y_1$ und $y_2$ so dass $y_1 + x = e$ und $x + y_2 = e$. Beachten Sie jetzt das

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Deshalb, $y_1$ (was auch ist $y_2$) ist eine Umkehrung für $x$.

Answer 2

Es muss ein eindeutiges Identitätselement geben:

Es gibt eine einzigartige $e_a$ für jeden $a$ so dass $ae_a=a$.

Jetzt nehmen wir das Einzigartige $c$ so dass $ca=b$Das verstehen wir $cae_a=be_a$ und auch das $cae_a=ca=b$, damit $be_a=b$ und somit $e_a=e_b$.

Wir haben also, dass es eine eindeutige Rechtsumkehrung gibt. Ebenso gibt es eine eindeutige linke Umkehrung. Jetzt müssen wir zeigen, dass beide gleich sind. Aber das ist einfach, da$e_le_r=e_r=e_l$.

Jetzt impliziert Bijektivität, dass es eine einzigartige geben muss $x_a$ so dass $ax_a=e$. Und ähnlich gibt es eine einzigartige$y_a$ so dass $y_aa=e$. Aber dann$y_aax_a=x_a=y_a$.

Damit haben wir die vier Bedingungen für eine Gruppe erfüllt, da Abschluss und Assoziativität im Wesentlichen gegeben sind.

Answer 3

Zumindest für endlich $A$Ja, das reicht aus, um eine Gruppe zu haben.

Anruf $\theta_a$ und $\gamma_a$Die linke und rechte Übersetzung werden jeweils durch ein festes Element abgebildet $a\in A$. Nun, unter der Annahme,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ und (Assoziativität) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Daher (Schließung)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, und daher $\exists \tilde e\in A$ so dass $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Ebenso Sein$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ so dass $\gamma_{\hat e}=Id_A$;; aber$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ und daher fallen beispielsweise die linke und die rechte Identität zusammen $e:=\tilde e=\hat e$.

Jetzt seit $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, dann $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ so dass $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ oder äquivalent, $a\tilde b=\hat ba=e$;; von letzterem bekommen wir zB $\hat ba=a\hat b$woher $a\tilde b=a\hat b$ oder äquivalent, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, und schlussendlich $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.