Ist es wahr dass $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Prompt
Eine symmetrische Matrix $S=S^T$ hat orthonormale Eigenvektoren $\vec{v}_1$ zu $\vec{v}_n$. Dann irgendein Vektor$\vec{x}$ kann als Kombination geschrieben werden $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Erklären Sie diese Formel:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Meine Erklärung:
$\vec{x}$ kann geschrieben werden als $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Erwägen, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Wir sehen, dass orthonormale Eigenvektoren von $S$multiplizieren, um die diagonale Eigenwertmatrix zu erhalten. Wir erhalten dann das innere Produkt der Vektorgewichtungen, das$c^2$ Terme, skaliert durch ihre jeweiligen Eigenwerte.
Ich fühle mich ziemlich gut mit meiner Erklärung. Nur der Teil, den ich nicht ganz verstehe, ist warum$V^{\,T}SV=\Lambda$... Es scheint mir, als sollte es etwas mehr im Sinne von sein $\Lambda^T \Lambda$ da jeder Eigenvektor hätte skaliert werden sollen, wenn rechts multipliziert wurde, weil $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Ist es wahr dass $V^{\,T}SV=\Lambda$? Wenn ja, ein wenig Hilfe, um zu sehen, warum wäre dankbar.
Ein Weg, wie ich darüber nachdachte.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Die Art zu denken $SV$ ist, dass jede Spalte von $V$ ist ein Eigenvektor, der die Spalten von multipliziert $S$. Wir wissen bereits, wie diese Kombination durch die Definition eines Eigenvektors aussehen wird$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Schließlich, wenn richtig mit multipliziert$V^T$ erinnere dich daran $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ ist $1$ wann $i=j$ und $0$ wann $i\neq j$ per Definition als orthonormale Vektoren.
Klar, wir enden mit $\Lambda$ als Ergebnis.
Antworten
Ja, das stimmt $V^TSV = \Lambda$. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie wir verstehen können, warum dies gilt. Eine Möglichkeit besteht darin, zu vergleichen, was jede Matrix mit einem Spaltenvektor "tut".
Lassen $\vec c$ bezeichnen den Spaltenvektor $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Überprüfe das$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Nun betrachten wir das Produkt $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Wir glauben, dass$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Anders ausgedrückt, die Rolle des $V$ ist die Einträge von zu interpretieren $\vec c$ als die Koeffizienten der Vektoren $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Von dort sehen wir das, weil jeder$v_i$ ist ein Eigenvektor von $S$, wir haben $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Beachten Sie schließlich, dass (weil $V$ ist orthogonal) $V^T$ ist die Umkehrung von $V$. Also genauso$V$ interpretiert den "Eingabevektor" als eine Liste von Koeffizienten für die $v_i$, $V^T$ nimmt einen Vektor und gibt uns die Liste der Koeffizienten für die $v_i$als seine Ausgabe. Das ist,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Also in der Tat, $V^TSV$ und $\Lambda$ beschreiben die gleiche Transformation und sind daher die gleiche Matrix.
Wir können daran denken $V^TSV$ als veränderte Version von $S$ Anstatt die Einträge eines Vektors (sowohl Eingabe als auch Ausgabe) als Literalkoordinaten eines Vektors zu betrachten, interpretieren wir sie als Koeffizienten unserer Vektoren $v_i$. In Bezug auf die Terminologie, die Sie vielleicht schon einmal gehört haben, sagen wir das$\Lambda$ ist die Matrix von $S$ "nach einem Basiswechsel".