Ist $X/R$ homöomorph zu $\mathbb R$?

Question

Betrachten Sie die $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ ausgestattet mit der induzierten Topologie von $\mathbb R^2$. Im$X$ Definieren Sie die Äquivalenzbeziehung:

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

Stimmt es, dass der Quotient $X/R$ ist homöomorph zu $\mathbb R$?

Ich denke schon, wenn wir definieren $f: X\rightarrow \mathbb R$ Rahmen $f(x, y)=x$ dann

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

damit $f$ steigt zum Quotienten ab $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ durch $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

Diese Karte $f$ ist kontinuierlich, weil wenn $\mathcal{U}$ ist offen in $\mathbb R$ dann

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ ist offen in $X$. Dies impliziert$\widehat{f}$ist kontinuierlich. Deutlich$\widehat{f}$ ist eine Bijektion, aber ich kann das Argument nicht beenden, um zu zeigen, dass es ein Homöomorphismus ist.

Vielen Dank.

Answer 1

Sie haben die richtige Idee, aber um die Offenheit zu sehen, müssen wir herausfinden, woraus die offenen Mengen bestehen $X/R$ sind: Es besteht aus genau allen Mengen $U\subseteq X/R$ so dass das Vorbild der Projektion auf die Äquivalenzklassen $X\to X/R$ ist offen.

Die Vorbilder sind genau durch Mengen gegeben $S\subseteq X$ die unter dieser Äquivalenzbeziehung geschlossen sind, das heißt, wenn $s\in S$dann jeder $s'$ mit $sRs'$muss auch in S sein. Mit anderen Worten, es muss die Vereinigung von (sogar durch) Äquivalenzklassen sein. In diesem Fall haben Äquivalenzklassen die Form$\{x\}\times (0,\infty)$. Daher muss S die Form haben$\mathcal S\times (0,\infty)$.

Nach der Definition der Produkttopologie ist dies in offen $X$ dann und nur dann, wenn $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ ist offen.

Also die Karte $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ nehmen $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ zu $x$ ordnet einen offenen Satz zu $\mathcal U\times (0,\infty)$ zum offenen Satz $\mathcal U$, und du bist fertig.