Jones-Polynom von Kabelknoten

Question

Lassen $K_{p,q}$ sei ein $(p,q)$-Kabel des nicht trivialen Knotens $K$ im $S^3$.

Gibt es eine geschlossene Formel für das Jones-Polynom für $K_{p,q}$wie im Fall von Alexander-Polynom- oder Seifert-Matrizen ?

Answer 1

Wie Ian Agol erwähnte, wenn es eine geschlossene Formel für das Jones-Polynom gäbe $V(K_{p,q})$ bezüglich $V(K)$Dies würde eine geschlossene Formel für die farbigen Jones-Polynome ergeben $V_n(K)$ in Bezug auf das ursprüngliche Jones-Polynom $V(K) = V_2(K)$.

Dies lässt mich jedoch denken, dass es keine so einfache Formel gibt. Wenn es so wäre, könnten wir leicht geschlossene Formeln für geben$V_n(K)$ für beliebige $n$, aber diese sind normalerweise ziemlich schwer zu generieren. Dies ist ein Grund, warum die Volumenvermutung nur in besonderen Fällen gilt: der erste Schritt eines Beweises für$K$ [1] ist normalerweise eine geschlossene Formel für $V_n(K)$.

[1] Vor kurzem gab es Beweise für andere Knoten im Zusammenhang mit "grundlegenden Schattenverbindungen" in $\#^k S^2 \times S^1$, die anders ablaufen. Dies ist für Ihre Frage nicht besonders relevant, aber ich erwähne es der Vollständigkeit halber.