Karte, Injektion oder beides?
Wir erhalten die Beziehung $R$ zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}$:: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ und wir werden gefragt: ist $R$ eine Karte, Bijektion, Injektion oder Surjektion?
Zunächst ist klar, dass nicht jede natürliche Zahl $n$ hat eine entsprechende Zuordnung, zB würde 1 -3 zuordnen, was ist $\notin \mathbb{N}$ähnlich für 2 (was auf -6 abgebildet werden würde) und 3 (würde auf -2 abgebildet werden). Fazit: Nicht jedes Element im Quellensatz$\mathbb{N}$ hat ein zugeordnetes Zielelement und auch nicht jedes Element in der Zielgruppe $\mathbb{N}$ hat ein zugeordnetes Quellelement.
Dies schließt Bijektion und Surjektion aus. Es sollte eine Injektion sein, da jedes Zielelement ein eindeutiges Quellelement hat. Mein Kollege denkt das$R$ist sowohl eine Karte als auch eine Injektion, da "alle Injektionen Karten sind". Ich glaube das jedoch$R$ist keine Karte, da nicht jedes Element im Quellensatz ein Zielelement hat. Verschiedene Quellen im Internet (und in Büchern) scheinen Karten und Injektionen als auf den Bereich beschränkt zu definieren$R$In diesem Fall hat mein Kollege Recht, dass Injektionen Karten sind.
Wir stecken fest. Welcher von uns hat recht?
BEARBEITEN Wir folgen den (nicht standardmäßigen?) Definitionen aus einem Kurs über diskrete Mathematik, die wie folgt lauten:
- Eine Beziehung zwischen zwei Mengen wird als Zuordnung bezeichnet, wenn von jedem Element genau ein Pfeil abweicht.
- Eine Beziehung wird als Injektion bezeichnet, wenn von jedem Element höchstens ein Pfeil abweicht und in jedem Element höchstens ein Pfeil ankommt.
Antworten
Eine (binäre) Beziehung zwischen Mengen $X$ und $Y$ ist nichts anderes als eine Teilmenge des kartesischen Produkts $X × Y$. In Ihrer Frage haben wir$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$. Meiner Meinung nach ist es irreführend, das Formular zu schreiben$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $Ich würde lieber schreiben $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$
Ich empfehle einen Blick darauf zu werfen https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation.
$R$ ist keine Funktion $\mathbb N \to \mathbb N$. Wie Sie gezeigt haben, z$n = 1, 2,3$ wir haben keine $m \in \mathbb N$ so dass $(n,m) \in R$. Wir können es jedoch als eine Teilfunktion betrachten, die dies für jede bedeutet$n \in \mathbb N$ wir haben höchstens einen $m \in \mathbb N$ so dass $(n,m) \in R$. Die Beschränkung$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ ist eine Funktion.
$R$ist eine injektive Beziehung. Dies bedeutet, dass wenn$(n, m) \in R$ und $(n', m) \in R$, dann $n = n'$. Betrachten Sie in der Tat die Funktion$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$. Seine Ableitung$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ ist positiv für $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$also $\phi$ nimmt strikt zu $(\xi,\infty)$. Schon seit$ 4 > \xi$Wir bekommen Injektivität.
$R$ ist keine surjektive Beziehung, was bedeutet, dass es existiert $m \in \mathbb N$ so für alle $n \in \mathbb N$ wir haben $(n,m) \notin R$. In der Tat haben wir$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$. Schon seit$\phi$ nimmt strikt zu $(\xi,\infty)$können wir nehmen $m = 13$.
Ich würde sagen, es ist eine (nicht genau definierte) Karte von $\mathbb{N}$ zu $\mathbb{N}$ (da es Eingaben von nimmt $\mathbb{N}$ und gibt in den Zielraum aus $\mathbb{N}$). Es ist keine Injektion, da es nicht einmal genau definiert ist.
Aber es ist eine gut definierte Karte von $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ zu $\mathbb{N}$in der Tat ist es eine Injektion
In der Definition, die Sie am Ende Ihres Beitrags geben, haben wir, dass jede Injektionsfunktion eine Injektionsbeziehung ist, aber jede Injektionsbeziehung keine Injektionsfunktion (Injektionsfunktion bedeutet hier eine Beziehung, die eine Funktion und eine Injektionsbeziehung ist).
Zum Beispiel lassen $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ und $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ dann $R$ ist keine Funktion von $A$ zu $B$ da gibt es keinen Pfeil, von dem abweicht $a$ (Voraussetzung für Ihre Definition der Zuordnung ist, dass ein Pfeil abweicht $a$).
Auf der anderen Seite aus jedem Element von $A$ Es gibt höchstens einen Pfeil, der abfährt (der Wortlaut "höchstens" deutet darauf hin, dass kein Pfeil abfährt) und außerdem kommt höchstens ein Pfeil zu jedem Element von $B$ Herstellung $R$ eine injektive Beziehung.
Zusammenfassung: Injektionen (in Bezug auf Beziehungen) sind nicht immer Abbildungen.