Kniffliges konvexes Hüllenproblem

Question

Lassen$V$sei eine beliebige Menge. Angesichts dessen$\sup_{x\in V} \langle x,u\rangle \ge 1$für alle Einheiten$u\in \mathbb{R}^n,$zeigen, dass konvexe Hülle von$V$enthält eine Kugel mit oepn-Einheit, die bei 0 zentriert ist.

Das sieht auf den ersten Blick einfach aus, aber ich habe Stunden damit verbracht, vergeblich darüber nachzudenken.

Answer 1

Annehmen$u$liegt aber in der offenen Einheit Kugel$u \notin V$. Der Hahn Banach zeigt, dass es einen Einheitsvektor gibt$h$so dass$\langle h, x \rangle \le \langle h, u \rangle $für alle$x \in V$. Somit$1 \le \langle h, u \rangle \le \|u\| < 1$was ein Widerspruch ist.

Answer 2

(Satz von trennenden Hyperebenen) Let$A$und$B$seien zwei disjunkte nichtleere konvexe Teilmengen von$\mathbb{R}^n$. Dann gibt es einen Vektor ungleich Null$v$und eine reelle Zahl$c$so dass :$\langle x, v \rangle \ge c \, \text{ and } \langle y, v \rangle \le c$für alle$x$in$A$und$y$in$B$; dh die Hyperebene$\langle \cdot, v \rangle = c$,$v$der Normalenvektor, trennt$A$und$B$.

Nehme an, dass$u \in B(0,1)$sondern$u \notin conv(V)$. Dann lass$A:=\{u\},B:=conv(V)$im Theorem. Dann gibt es einen Vektor ungleich Null$v$und eine reelle Zahl$c$so dass:

$$\langle u, v \rangle \ge c \implies \|v\|_2> c$$

und$$ \sup_{y \in conv(V)}\langle y, v \rangle \le c \implies \|v\|_2\le \sup_{y \in V}\langle y, v \rangle \le c$$

Die frühere Implikation ist die Ungleichung von Cauchy Schwarz und dass die$B(0,1)$ist offen; die letztere Implikation ergibt sich aus unserer Annahme. Damit ergibt sich der gewünschte Widerspruch.