Koeffizientenproblem in der Klasse $\Sigma$

Question

Lassen $\Sigma$ sei die Klasse der einwertigen (injektiven) holomorphen Funktionen auf $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ wo $\mathbb{D}$ist die geschlossene Einheitsscheibe. Analog zur berühmten Bieberbach-Vermutung besteht das Problem, scharfe Grenzen für den Koeffizienten zu finden$b_n$ der Funktionen $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ im $\Sigma.$Dieses Problem ist jedoch wesentlich komplizierter als die Bieberbach-Vermutung, da es hier keinen guten Kandidaten für die Extremalfunktionen gibt. Die anfängliche Vermutung$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ ist falsch und soweit ich weiß, bekommen wir nur die scharfen Grenzen für $b_2$ et $b_3$nämlich $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Es gibt auch einige Theoreme, die mehr Informationen liefern, wenn wir zusätzliche Bedingungen für die Funktion hinzufügen $g$aber diese interessieren mich hier nicht. Meine Frage ist ganz allgemein:

Was sind die jüngsten Ergebnisse bezüglich der scharfen Grenzen für die Koeffizienten? $b_n$im allgemeinen Fall? Zum Beispiel wissen wir es für$|b_4|$oder stecken wir noch fest? Gibt es einen neuen Kandidaten für die Extremfunktionen?

Überraschenderweise sind diese Informationen seitdem in der Literatur schwer zu bekommen $\Sigma$ ist viel weniger studiert als $\mathcal{S}$. Vielen Dank für jede Hilfe.

Answer 1

Die neuesten Ergebnisse sind nicht sehr aktuell. Die meisten von ihnen werden in der Zeitung erwähnt

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. Über Koeffizientenprobleme für einwertige Funktionen und konforme Dimensionen. Herzog Math. J. 66 (1992), Nr. 2, 169–206.

Lassen $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. Die Frage ist über die Reihenfolge der Abnahme von$B_n$. Eine einfache Schätzung ist$B_n\leq n^{-1/2}$und das alte Ergebnis von Clunie und Pommerenke sagt $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Ich bin mir nicht sicher, ob dies jemals verbessert wurde, wenn ja, dann um sehr wenig. Carleson und Jones haben das bewiesen$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$existiert. (Also von Clunie-Pommerenke,$\gamma>0.5$). Die Extremalfunktionen sind anscheinend konforme Karten auf Komplemente einiger Julia-Mengen oder anderer selbstähnlicher Fraktale. Mit Julia-Sets konnten Carleson und Jones das zeigen$\gamma\leq 0.79$, (computergestützt) und vermutete dies tatsächlich $\gamma=3/4$. Wahrscheinlich ist diese Vermutung unveröffentlicht, wurde aber in den 90er Jahren unter Fachleuten diskutiert. Ich kenne seitdem keine wesentlichen Fortschritte.