Komplexe Wurzeln der Einheit in einer Matrix

Question

Lassen $\omega $ sei eine komplexe Kubikwurzel der Einheit mit $\omega \ne 1 $ und $P=[p_{ij}]$ sei ein $n \times n $ Matrix mit $p_{ij}=\omega^{i+j}$. Dann$P^2 \ne0$ wann $n=$

(A) 57

(B) 55

(C) 58

(D) 56

Offizielle Antwort ist $B,C,D$. Berücksichtigen Sie, dass die Werte größer als sind$50$ Wenn wir die Antwort sehen, basierend auf meiner Annahme, ist der Wert von $n$ ist kein Vielfaches von $3$.

Wir müssen die Quadratmatrix finden, deren Quadrat nicht gleich der Nullmatrix ist. Wie finden wir den Wert von$n$?

Answer 1

$P^2$=$\begin{bmatrix}w^2 &w^3 &w^4& .&.&.\\ w^3 \\ w^4 \\ .\\ .\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}w^2 &w^3 &w^4& .&.&.\\ w^3 \\ w^4 \\ .\\ .\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}w^4+w^6+w^8+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}w+1+w^2+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}0+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$

Daraus schließen wir $n$ sollte kein Vielfaches von sein $3$. Zweifel?