komplexe Zahlen helfen

Question

Angesichts der folgenden komplexen Zahlen: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ Finden Sie die kartesischen Formen der folgenden Ausdrücke: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

Der erste, bei dem ich die Antwort auf 1.414 - 1.414i fand, ist das richtig?

Answer 1

Wenn Sie die polaren Formen von kennen $z$ und $w$, dann wird die Berechnung viel einfacher, wie in den Kommentaren erwähnt.

Nehme an, dass $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ und $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, dann

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ und $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Dann können Sie Eulers Formel verwenden :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ um Ihr Ergebnis in der Form auszudrücken $x+iy.$

Jetzt seit $r_{1}=|z|=2$ und $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ du hast das $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ Ähnlich $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ wo $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Hinweis:

Beachten Sie das $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ also

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

So ist der erste

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Weiter von hier ...

Wie kommentiert, ist in polarer Form viel einfacher. Wenn wir das Standardargument in [0,2 \ pi); $ wählen, erhalten wir:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \ ;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ impliziert \ text {etc.} $$

und ETC.