Kontinuierliche Beweisfrage

Question

Sei f: [0, ∞) → R eine stetige Funktion und sei g: [0, ∞) → R die durch g (x) = sup {f (y) | definierte Funktion y ∈ [0, x]}. Beweisen Sie, dass g auch stetig ist.

Ich habe versucht, den Text Intro to Real Analysis zu verwenden, um diesen Beweis zu vervollständigen, bin mir aber nicht sicher, wie ich das Supermum manipulieren soll. Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass g zunimmt, aber dann weiß ich nicht, wohin ich von dort aus gehen soll.

Jede Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

Ich würde das Kontrapositive beweisen: wenn $g$ ist diskontinuierlich bei $x_0$dann ist es auch so $f$. In der Tat zeigen$g$Das Erhöhen ist eine große Hilfe, da Diskontinuitäten bei zunehmenden Funktionen Sprungdiskontinuitäten sein müssen. Insbesondere (mit Ausnahme des Sonderfalls)$x_0 = 0$) Wir müssen haben $$\lim_{x \to x_0^-} g(x) < \lim_{x \to x_0^+} g(x).$$ Diese einseitigen Grenzen existieren im Wesentlichen durch die kontinuierliche Version des monotonen Konvergenzsatzes. Von links nimmt die Funktion zu und wird oben durch begrenzt$g(x_0 + 1)$. Von rechts nimmt die Funktion ab, begrenzt durch$g(x_0/2)$ (Ich habe nicht gewählt $x_0 - 1$, nur für den Fall $x_0 \in (0, 1)$).

Auf der anderen Seite, wenn $x_0 = 0$Dann können wir nur dann eine Diskontinuität haben, wenn $$f(0) = g(0) < \lim_{x \to 0^-} g(0).$$ Dies muss als separater Fall behandelt werden.

Wenn $x_0 > 0$, dann lassen Sie die linke Grenze von $g$ Sein $L$ und die richtige Grenze sein $R$. Ich würde vorschlagen, das zu beweisen$f(x) \le L$ für alle $x \in [0, x_0]$, implizieren das $\lim_{x \to x_0} f(x) \le L$wenn eine solche Grenze besteht. Aber auf der anderen Seite für jeden$n \in \Bbb{N}$muss es welche geben $x_n \in [0, x_0 + 1/n]$ so dass $f(x_n) \ge R$. Dies impliziert das$\lim_{x \to x_0} f(x) \ge R$wenn es existiert. Daher kann die Grenze nicht existieren$f$ kann nicht kontinuierlich sein bei $x_0$.

Ich werde das verlassen $x_0 = 0$Fall für Sie, sowie das Ausfüllen der Lücken! Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Hilfe benötigen.