Konturintegration mit Hundeknochen, Astschnitt

Question

Berechnen Sie das folgende Integral

$\frac {1}{2\pi i} \int_{|z|=2} \frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}dz$

Einen Zweig von nehmen $\sqrt{z^2-1}$, befriedigend $\sqrt{z^2-1}>0$ zum $z>0$

Ich habe dieses Problem mit einer "Dogbone" -Kontur versucht und ich bekomme,

$\int_C \frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}dz = -2\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-3}dx $ ----------- (unter Berücksichtigung der Integrationen an den Verzweigungspunkten tendiert man zu Null als $\epsilon$ geht auf Null)

Danach blieb ich stecken, weil ich den Cauchy-Integralsatz nicht verwenden kann, weil die Singularität außerhalb des Bereichs liegt. Bitte geben Sie eine Idee für diese Art von Problem. Ich fühle mich falsch. Und ich möchte die richtige Figur für die Kontur wissen.

Answer 1

Zum $R>3$Cauchys Integralsatz garantiert dies

$$\begin{align} \oint_{\text{Dogbone}}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz&=\oint_{|z|=2}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz\\\\ &=\oint_{|z|=R}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=3\right)\\\\ &=-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=\infty\right)-2\pi i \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=3\right) \end{align}$$

wo das Integral um die Hundeknochenkontur gegen den Uhrzeigersinn genommen wird.

Der Rückstand an der Unendlichkeit von$f(z)=\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}$ ist gleich dem Rückstand bei $z=0$ von $-\frac1{z^2}f\left(\frac1z\right)=\frac{\sqrt{1-z^2}}{z^2(3z-1)}$. Deshalb haben wir

$$\begin{align} \text{Res}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3},z=\infty\right)&=\text{Res}\left(-\frac1{z^2}\frac{\sqrt{1/z^2-1}}{1/z-3},z=0\right)\\\\ &=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\left(\frac{\sqrt{1-z^2}}{3z-1} \right)\\\\ &=-3 \end{align}$$

und die wohnen bei $3$ ist $2\sqrt 2$.

Daher finden wir das

$$\oint_{\text{Dogbone}}\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-3}\,dz=2\pi i (3-2\sqrt 2)$$

wo wir stillschweigend den Zweig der Quadratwurzel ausgewählt haben, auf dem $\sqrt{z^2-1}$ ist von positivem Vorzeichen, wenn $z\in \mathbb{R}$, $z>1$.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Berechnen Sie das folgende Integral:$\ds{\bbox[5px,#ffd]{% \int_{\verts{z} = 2}{\root{z^{2} - 1} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic}}}$. Ich werde de Hauptzweige von wählen$\ds{\root{z \pm 1}}$. Nämlich,$$ \left\{\begin{array}{rcl} \ds{\root{z \pm 1}} & \ds{=} & \ds{\root{\verts{z \pm 1}}\expo{\ic\arg\pars{z \pm 1}}} \\[1mm] \ds{\arg\pars{z \pm 1}} & \ds{\in} & \ds{\pars{-\pi,\pi},\qquad z \not= \mp 1} \end{array}\right. $$ Der obige Weg $\ds{\braces{z\ \mid\ \verts{z} = 2}}$nicht umschließen jeden Pol.

---

• Sobald die Verzweigungsschnitte eingerichtet sind, müssen wir die Beiträge von Pfaden etwas oberhalb und unterhalb der Schnitte hinzufügen.

• Sobald dies erledigt ist, wird das Integral entlang einer geschlossenen Kontur ausgewertet : Es verschwindet.

• Natürlich müssen wir das vorherige Hinzufügen subtrahieren $\ds{\pars{~\mbox{see the first}\ \bullet\ \mbox{above}~}}$. \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{% \int_{\verts{z} = 2}{\root{z^{2} - 1} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic}} = \int_{\verts{z} = 2} {\root{\pars{z + 1}\pars{z - 1}} \over z - 3}\, {\dd z \over 2\pi\ic} \\[5mm] = & \require{cancel} \cancel{-\int_{-2}^{-1}{\pars{\root{-x - 1}\expo{\ic\pi/2}} \pars{\root{1 - x}\expo{\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic}}\label{1}\tag{1} \\[2mm] & -\int_{-1}^{1}{\root{x + 1} \pars{\root{1 - x}\expo{\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic} \\[2mm] & -\int_{1}^{-1}{\root{x + 1} \pars{\root{1 - x}\expo{-\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic} \\[2mm] & \cancel{-\int_{-1}^{-2}{\pars{\root{-x - 1}\expo{-\ic\pi/2}} \pars{\root{1 - x}\expo{-\ic\pi/2}} \over x - 3}\, {\dd x \over 2\pi\ic}}\label{2}\tag{2} \\[5mm] = & -\,{1 \over \pi}\int_{-1}^{1} {\root{1 - x^{2}} \over x - 3}\,\dd x = \bbx{3 - 2\root{2}} \approx 0.1716 \\ & \end{align}Integrale in Zeilen (\ ref {1}) und (\ ref {2}) heben sich gegenseitig auf. Dies geschieht, weil die kombinierten Zweigschnitte einen eingeschnittenen Zweig hinterlassen$\ds{\bracks{-1,1}}$.