Konvergenzbedingungen für ein iteratives Schema

Question

Lassen$A$sei eine singuläre und symmetrische Matrix, mit$\lambda_1=0$und$\lambda_i >0$zum$i=2,\ldots,n$.

Betrachten Sie die Iteration

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

Unter welchen Bedingungen auf$x_0$,$\alpha$und$b$, konvergiert es zur wahren Lösung von$Ax =b$?

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Ich kann mich wirklich nicht bewegen. Ich habe versucht zu rechnen$e_{k+1}$aber ich konnte keine brauchbare Relation finden. Außerdem weiß ich nicht, wie ich einige Einschränkungen finden kann$x_0$.

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BEARBEITEN

Ich habe versucht, den Kommentaren von @uranix zu folgen, und ich habe Folgendes gefunden:$$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

die ich umschreibe (mit Konsistenz) als$$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Deswegen$$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Jetzt würde ich verlangen, dass der Spektralradius kleiner als ist$1$, aber seit$$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$Ich habe, dass der erste Eigenwert ist$1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Zur Konvergenz kann ich also nichts sagen... es muss doch einen anderen Weg geben. Allerdings habe ich keine Symmetrie und auch keine Bedingungen verwendet$x_0$, wie im Text geschrieben

Answer 1

Ein kleiner Hinweis.

Wie ich in den Kommentaren sagte, betrachten Sie die Eigenwertbasis. Die Basisvektoren sind orthogonal und können skaliert werden, um eine orthonormale Basis zu bilden:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Expandieren von Fehlervektoren über die Basis$e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ermöglicht das Umschreiben der Konvergenzbedingung unter Verwendung von Erweiterungskoeffizienten. Verwenden von Parsevals Identität$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$wir bekommen das$e_k \to 0$geschieht nur wenn für alle$m$jeder Koeffizient konvergiert gegen Null, das heißt$$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

Handeln mit$(I - \alpha A)^k$an$e_0$wirkt auf jeden Eigenwert separat:$$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Vergleiche die rechte Seite mit$\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$wir bekommen sofort die Relation$$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

Jetzt liegt es an Ihnen, die Bedingungen zu finden, wann$\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$für jeden$m = 1,\dots,n$.