Konvergenzradius für Exponentialmatrix

Question

Im Zusammenhang mit linearen ODE-Systemen mit konstanten Koeffizienten erwähnen meine Vorlesungsunterlagen zu ODE, dass die Matrix exponentiell ist $e^{tA}$hat einen unendlichen Konvergenzradius. Dies zeigt sich in einem Beweis dafür$e^{tA}$ ist eine grundlegende Matrix von $y'(t)=Ay(t)$, wobei die Ableitung einer Matrixwertfunktion komponentenweise definiert werden kann.

Die Matrixexponentialfunktion wird durch die Reihe definiert

$exp(A):=e^A:=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!}$.

Jetzt weiß ich das bei der Potenzreihe in $\mathbb{C}$ Wir definieren den Konvergenzradius einer Potenzreihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ wie

$R:=\sup \{r \geq0:(c_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ is a bounded sequence}\}$

wo begrenzt bedeutet das $|c_n r^n| \leq M$ für einige $M>0$.

Wie können wir dies auf Matrixleistungsreihen wie die Exponentialmatrix verallgemeinern? Im Allgemeinen ist es nicht sinnvoll, das Supremum über eine Reihe von Matrizen zu übernehmen. Aber wenn wir eine Potenzreihe haben, wo$z$ ist immer noch eine komplexe Zahl, und nur die Koeffizienten können Matrizen sein, dann könnten wir die gleiche Definition wie zuvor verwenden

$R:=\sup \{r \geq0:(C_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ is a bounded sequence}\}$

wo $C_n$ sind Matrizen und begrenzt bedeutet dann das $\|C_n r^n\|| \leq M$ für einige $C$.

Daraus folgt, dass jede Komponente der Potenzreihe den gleichen Konvergenzradius wie die Matrixreihe hat.

Wir können also in jeder Komponente termweise differenzieren, um die Ableitung der Exponentialmatrix zu erhalten.

Ist das eine gemeinsame Definition? Ich konnte keine Quelle finden, die eine allgemeine Definition gibt.

Vielen Dank für jede Hilfe und Anregungen!

Answer 1

Sie haben Recht zu bemerken, dass wir eine geeignete Funktion von Matrizen bis zu reellen Zahlen benötigen, um die Konvergenz zu definieren. Dies nennt man eine Norm . Leider gibt es für einen Vektorraum (und die Menge der Matrizen hier kann als Vektorraum angesehen werden) mehr als eine Norm. Glücklicherweise gibt es einen Satz, der besagt, dass auf einem endlich dimensionalen Vektorraum alle Normen äquivalent sind (siehe auch den Wikipedia-Artikel). Hier bedeutet dies, dass alle Normen uns die gleiche Definition von Konvergenz geben.

Eine mögliche Norm für Matrizen ist die Summe der Absolutwerte der Eigenwerte der Matrix. Mit dieser Norm (vielleicht gibt es eine bequemere Wahl der Norm) kann man zeigen, dass der Konvergenzradius der Exponentialreihen tatsächlich unendlich ist.

Answer 2

Schreiben $$A\le aU$$ wo $a$ ist das größte Element von $A$ und $U$ ist ein $d\times d$Matrix aller. Der Vergleich wird elementweise durchgeführt, wobei die Zeichen ignoriert werden.

Dann

$$A^n\le(aU)^n= d^{n-1}a^nU$$ und

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{A^n}{n!}\le\frac{e^{da}}dU=:MU.$$

Answer 3

Wir können tatsächlich die gleiche Definition für Matrix-Potenzreihen beibehalten, da es sich um reale Sequenzen handelt $(c_n r^n)_{n \in \mathbb{N}}$ nur, dh $r \geq 0$ ist eine nicht negative reelle Zahl.

Für komplexe Serien haben wir dann:

Satz: Lassen Sie die Potenzreihe $P(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ Konvergenzradius haben $R$. Dann

$(i)$ $P(z)$ divergiert für alle $z$ mit $\lvert z \rvert >R$.

$(ii)$ Für jeden $0<r<R$, die Serie $P(z)$ konvergiert gleichmäßig auf $\bar{B}_r(0)=\{z \in \mathbb{C}:\lvert z \rvert \leq r\}$

$(iii)$ $P(z)$ konvergiert absolut für $z \in B_R(0)=\{z \in \mathbb{C}:\lvert z \rvert <R\}$

Eine ähnliche Aussage folgt für Matrixleistungsreihen, indem der Absolutwert durch die Matrixnorm ersetzt wird (siehe hier ).