Kreis in einer Quadratgeometrie
Nehmen wir an, ein Quadrat enthält einen Kreis. Der Kreis hat einen Radius$r$ während das Quadrat eine Seitenlänge von hat $2r$.
Ok, jetzt wissen wir das $\pi=4\frac{A_c}{A_s}$, wo $A_c$ und $A_s$ sind die Fläche des Quadrats bzw. des Kreises.
Nur zum Spaß dachte ich, ich würde sehen, ob es eine Beziehung zwischen dem Umfang und dem Wert von gibt $\pi$. Es stellt sich heraus, dass$\pi=4\frac{P_c}{P_s}$ wobei P Umfang oder Umfang ist.
Jetzt wissen wir das $\pi$ ist konstant, damit wir diese gleichen Ausdrücke gleich setzen können $4\frac{A_c}{A_s}=4\frac{P_c}{P_s}$. Aufteilen der$4$, wir bekommen das:
$\frac{A_c}{A_s}=\frac{P_c}{P_s}$.
Aber das macht keinen Sinn? Wie können Umfang und Fläche gleich sein?
Oh und ja, ich bin darauf gestoßen, nachdem ich etwas über Monte-Carlo-Methoden gelernt hatte.
Antworten
Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, ein kleines Stück Umfang (Umfang) zu betrachten und seine beiden Endpunkte mit dem gemeinsamen Mittelpunkt des Quadrats und des Kreises zu verbinden.
Beachten Sie, wie der senkrechte Abstand von der Mitte zu diesem Umfang immer ist $r$sowohl für das Quadrat als auch für den Kreis.
Für ein Stück des quadratischen Umfangs der Länge $s$ist die Fläche des Dreiecks, das es mit der Mitte bildet,
$$a = \frac 12 r\cdot s$$
Für ein Stück des Bogenumfangs $s$ist der Bereich des Sektors, den es mit dem Zentrum bildet, ist
$$a = \pi r^2 \cdot \frac{s}{2\pi r} = \frac 12 r\cdot s$$
Die Fläche, die jedes kleine Stück Umfang (Umfang) zur Gesamtfläche beiträgt, ist also in beiden Fällen gleich.
Dies bedeutet nicht, dass "der Umfang und die Flächen gleich sind", sondern dass das Verhältnis von Umfang und Fläche gleich ist $\left(\frac4\pi\right)$.
Die Umfänge und Flächen sind nicht "gleich".
Sie haben zwei Verhältnisse, die dimensionslose Zahlen sind und gleich sind. Nichts Besonderes.