Lineares Programm zur Modellierung eines bestimmten Problems
Hier ist das Problem, das ich zu lösen versuche:
"Ein Unternehmen stellt drei Produkte her, Produkt A, Produkt B und Produkt C. Das Unternehmen verfügt über 4 verfügbare Mitarbeiter, und die Mitarbeiter haben unterschiedliche Raten, wenn sie an jedem der drei Produkte arbeiten. Aufgrund der Art ihrer Verträge Die Arbeiter berechnen einen unterschiedlichen Betrag, je nachdem, an welchem Produkt sie arbeiten. Die Zeit, die Arbeiter i benötigt, um das Produkt der Zeit A, B oder C herzustellen, und der Betrag, den sie je nach Produkt berechnen, sind in den beiden Tabellen zusammengefasst gegeben.
Tabelle 1: Zeit in Minuten, die Arbeiter i benötigt, um eine Einheit des Produkts j herzustellen.
Tabelle 2: Vom Unternehmen für eine Stunde Arbeiter i bei der Arbeit an Produkt j gezahlter Betrag.
(Ich kann die tatsächlichen Tabellen hier nicht erstellen, aber es ist ziemlich einfach, anhand der obigen Tabellenbeschreibungen eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Tabellenstruktur aussieht.)
Angenommen, jeder Arbeiter arbeitet 40 Stunden pro Woche. Aufgrund der Verpflichtungen des Unternehmens gegenüber bestehenden Kunden muss das Unternehmen mindestens 100 Einheiten von Produkt A, 150 Einheiten von Produkt B und 100 Einheiten von Produkt C produzieren. Schreiben Sie ein lineares Programm, das dem Unternehmen mitteilt, wie jeder Mitarbeiter in dieser Reihenfolge zugewiesen werden soll Die Nachfrage nach jedem Widget wird erfüllt und die Kosten für das Unternehmen werden minimiert.
Sie müssen also angeben, was die Entscheidungsvariablen sind und was dann der Vektor ist, der der Zielfunktion entspricht, die Matrix, die den Einschränkungen entspricht usw. "
Ich habe Stunden damit verbracht, dies als lineares Programm zu formulieren, und der einzige Ansatz, den ich mir vorstellen konnte, bestand darin, die Gesamtkosten zu minimieren, indem ich die Form min CX annahm, wobei jedes Element von C, dh C (i) (j), bezeichnet Der Betrag, den Arbeiter i für die Arbeit an Produkt j pro Zeiteinheit berechnet, und jedes Element von X, dh X (i) (j), bezeichnet die Gesamtzeit, die Arbeiter i für die Arbeit an Produkt j benötigt. Dies ist jedoch offensichtlich nicht der richtige Ansatz, da C und X Vektoren sein sollen. Ich habe versucht, nach ähnlichen Problemen zu suchen, konnte aber keine finden.
Antworten
Du bist auf dem richtigen Weg. Sie können die zerquetschen$C$ und $X$Matrizen in Vektoren. Angenommen, Sie haben zwei Mitarbeiter und drei Produkte$C$ und $X$sind 2x3 Matrizen. Lassen$c=(C_{11}, C_{12}, C_{13}, C_{21}, C_{22}, C_{23})$ und lass $x = (X_{11}, \dots, X_{23})$. Jetzt haben Sie Vektoren.
Betrachten wir einen Planungszeitraum von 1 Woche. Jeder Arbeitnehmer arbeitet 8 Stunden pro Tag und 5 Tage pro Woche, so dass die verfügbare Arbeitszeit pro Woche gleich ist$40$ Std $= 2,400$Protokoll. Lassen Sie uns vorstellen$4 \cdot 3 = 12 $ positive ganzzahlige Variablen mit der Bezeichnung $x_{i,j}$ wo $i=1,2,3,4$ und $j=1,2,3$.
$x_{i,j}$ stellt die Menge des j-ten Produkts dar, die vom i-ten Arbeiter hergestellt wurde, es sollte eindeutig eine positive ganze Zahl sein.
$a_{i,j}$ ist die Zeit in Minuten, die Arbeiter i benötigt, um eine Einheit des Produkts j herzustellen.
$b_{i,j}$ Die Kosten werden von der Firma für eine Stunde Arbeiter i bei der Arbeit an Produkt j bezahlt
Wir wollen den wöchentlichen Bedarf der drei Produkte decken und so wenig wie möglich ausgeben.
Die Zielfunktion kann richtig formuliert werden als
$ \min \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^3 (a_{i,j}/60) \cdot b_{i,j} \cdot x_{i,j} $
vorbehaltlich $\left\{ \begin{array}{l} \sum_{i=1}^4 x_{i,1} \geq 100 \\ \sum_{i=1}^4 x_{i,2} \geq 150 \\ \sum_{i=1}^4 x_{i,3} \geq 100 \\ \sum_{j=1}^3 a_{1,j} x_{1,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{2,j} x_{2,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{3,j} x_{3,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{4,j} x_{4,j} \leq 2,400 \\ x_ij \in N \forall i=1,2,3,4 \forall j=1,2,3 \\ \end{array} \right. $
$ \sum_{i=1}^4 x_{i,j} \geq c_j $ bezeichnet die Beschränkung der wöchentlichen Nachfrage nach j-ten Produkten, wobei $c_j $ ist die Nachfrage nach j-ten Produkt.
$ \sum_{j=1}^3 a_{i,j} x_{i,j} $ ist die Arbeitszeit, die der i-te Arbeiter also verbringt $ \sum_{j=1}^3 a_{i,j} x_{i,j} \leq 2,400 $ bezeichnet die Beschränkung der Gesamtanzahl der Minuten, die dem i-ten Arbeitnehmer in einer Woche zur Verfügung stehen.